[PDF] LATIN AMERICAN JOURNAL OF PHYSICS EDUCATION

1 ISSN LATIN AMERICAN JOURNAL OF PHYSICS EDUCATION Volume I Number 1 September 2007 A publication sponsored by Centro d...

ISSN 1870-9095

LATIN AMERICAN JOURNAL OF PHYSICS EDUCATION www.journal.lapen.org.mx Volume I

Number 1

September 2007

A publication sponsored by Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico Nacional and the Latin American Physics Education Network

LATIN AMERICAN JOURNAL OF PHYSICS EDUCATION

Electronic version of this journal can be downloaded free of charge from the webresource: http://www.journal.lapen.org.mx Production and technical support Daniel Sánchez Guzmán [emailprotected]

EDITORIAL POLICY Latin American Journal of Physics Education is a peer-reviewed, electronic international journal for the publication of papers of instructional and cultural aspects of physics. Articles are chosen to support those involved with physics courses from introductory up to postgraduate levels. Papers may be comprehensive reviews or reports of original investigations that make a definitive contribution to existing knowledge. The content must not have been published or accepted for publication elsewhere, and papers must not be under consideration by another journal. This journal is published three times yearly (January, May and September), one volume per year by Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico Nacional and The Latin American Physics Education Network (LAPEN). Manuscripts should be submitted to [emailprotected] or [emailprotected] .Further information is provided in the “Instructions to Authors” on www.journal.lapen.org.mx Direct inquiries on editorial policy and the review process to: Cesar Mora, Editor in Chief, CICATA-IPN Av. Legaria 694, Col Irrigación, Del. Miguel Hidalgo, CP 11500 México D. F. Copyright © 2007 César Eduardo Mora Ley, Latin American Physics Education Network. (www.lapen.org.mx) ISSN 1870-9095

EDITOR-IN-CHIEF Cesar Mora, Instituto Politécnico Nacional, México.

INTERNATIONAL ADVISORY COMMITTEE Carl Wenning, Illinois State University (USA) Diane Grayson, Andromeda Science Education (South Africa) David Sokoloff, University of Oregon (USA) Edward Redish, University of Maryland (USA) Elena Sassi, University of Naples (Italy) Freidrich Herrmann, University of Karlsruhe (Germany) Gordon Aubrecht II, Ohio State University (USA) Hiroshi Kawakatsu, Kagawa University (Japan) Jorge Barojas Weber, Universidad Nacional Autónoma de México (México) José Zamarro, University of Murcia (Spain) Laurence Viennot, Université Paris 7 (France) Marisa Michelini, University of Udine (Italy) Marco Antonio Moreira, Universidade Federal do Rio Grande do Sul (Brazil) Minela Alarcón, UNESCO (France) Pratibha Jolly, University of Delhi (India) Priscilla Laws, Dickinson College (USA) Ton Ellermeijer, AMSTEL Institute University of Amsterdam (Netherlands) Verónica Tricio, University of Burgos (Spain) Vivien Talisayon, University of the Philippines (Philippines) Zdenek Kluiber, Technical University (Czech Republic)

EDITORIAL BOARD Amadeo Sosa, Ministerio de Educación y Cultura Montevideo (Uruguay) Carola Graziosi, APFA (Argentina) Deise Miranda, Universidade Federal do Rio de Janeiro (Brasil) Eduardo Moltó, Instituto Superior Pedagógico José Varona (Cuba) Eduardo Montero, Escuela Superior Politécnica del Litoral (Ecuador) Josefina Barrera, Universidade do Estado do Amazonas (Brasil) Josip Slisko, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (México) Juan Evertsz, Universidad Pontificia Católica Maestra y Maestra, Sociedad Dominicana de Física (Rep. Dominicana) Julio Benegas, Universidad Nacional de San Luis (Argentina) Leda Roldán, Universidad de Costa Rica (Costa Rica) Manuel Reyes, Universidad Pedagógica Experimental Libertador (Venezuela) Mauricio Pietrocola Universidad de Sao Paulo (Brasil) Nelson Arias Ávila, Universidad Distrital, Bogotá (Colombia) Octavio Calzadilla, Universidad de la Habana (Cuba) Ricardo Buzzo Garrao, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso (Chile)

EDITORIAL

Es un placer presentar a ustedes una nueva revista electrónica internacional, con arbitraje por iguales dedicada a la investigación sobre la enseñanza y aprendizaje de la física, y temas relacionados. La idea de la creación de la revista Latin-American Journal of Physics Education, surgió en el Año Mundial de la Física durante la Reunión Internacional sobre Enseñanza de la Física y la Especialización de Profesores (RIEFEP) celebrada del 8 al 11 de noviembre de 2005, en la ciudad de Matanzas, Cuba. Finalmente, mediante el apoyo del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico Nacional y de la Red Latinoamericana de Física Educativa (LAPEN), surge este primer número que incluye artículos de investigación y revisiones de conceptos de física para la enseñanza en diversos niveles educativos, abarcando desde niveles elementales hasta el posgrado. Ahora, lo que sigue será mantener una publicación constante de libre acceso y buscando contribuciones originales de gran calidad, así como realizar la debida difusión entre los docentes de física de nuestra región hasta llegar a indexar la revista en las mejores bases de datos. Es importante señalar que gracias al apoyo y esfuerzo de varios colegas en el mundo ha sido posible llegar hasta este nacimiento. Se agradece la gran disposición de colaboración de los miembros del comité editorial y del comité consultivo internacional, así como el apoyo de la Comisión Internacional de Educación en Física (ICPE) de la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada (IUPAP), y claro está de los autores de este primer número histórico y a sus futuros lectores. ¡Les invitamos a sumarse a este esfuerzo para mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la física en nuestras escuelas!

Cesar Mora Editor en Jefe

Circuit happenings Paul G. Hewitt City College of San Francisco, San Francisco, CA 94112, USA. E-mail: [emailprotected] (Received 6 August 2007; accepted 23 August 2007)

Abstract Much of the confusion in electricity is a failure to correctly distinguish between the concepts of voltage, current, energy, power, or a combination of these concepts. By carefully examining what happens in simple circuits, perhaps confusion can be minimized. Key words: Physics Education, electric circuits.

Resumen Mucha de la confusión en electricidad es debida a la mala distinción entre los conceptos de voltaje, corriente, energía, potencia, o una combinación de estos conceptos. Mediante una revisión cuidadosa sobre qué sucede en circuitos sencillos, la confusión quizás pueda ser minimizada. Palabras clave: Física educativa, circuitos eléctricos. PACS: 01.40.–d, 01.40.Fk, 01.40.Gm, 01.40.Jp.

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conducting material are immediately set into motion when voltage is sensed. Although electrons flow in the battery and through the circuit and then through the battery again where they are re-energized, it is a mistake to think they originate in the battery. Free charged particles such as electrons are in every part of any conducting material, and all move at the instant the electric switch is closed. They move in unison, all at once, similar to how the command "forward march" makes each member of a marching band step at the same time. Water provides another analogy: when you turn on your kitchen faucet, water flows through the connecting pipe. The water that fills your glass was already in the pipe, under pressure, and may have left the reservoir weeks ago! Likewise, the electrons that flow in the current through the light bulb are already present in the filament before and during turning on the switch. (When current is alternating, ac, the electrons do not flow through the filament, but are centered in one place as they vibrate to and for 60 times each second. Most of the electrons in the filament of an old light bulb were there when the bulb was first manufactured. In fact, they were in the material making up the filament before the bulb was manufactured!) Unlike water pipes that require you to supply water, electric wires are "pipes" that contain their own "water." Electrons are already in the wires of an electric circuit. A battery supplies them with energy. The life of a battery depends on the length of time it shares its chemical energy with bulbs or other circuit devices. Like water pipes that become clogged with overuse and time, batteries build up resistance that further shortens their useful lives.

I. INTRODUCCIÓN Figure 1 shows a very simple circuit consisting of a battery and a bulb. The battery is analogous to a water pump that produces sustained water pressure in a pipe or system of pipes. The battery produces an electric pressure called voltage, that energizes the bulb. The energy is supplied through an electric field that permeates the circuit at nearly the speed of light. So for practical purposes, when a switch completing a circuit is closed, voltage across the circuit occurs instantaneously. Similar to a bridge across a river that connects opposite shores, voltage is established across the opposite terminals of the battery and across the circuit [1].

FIGURE 1. Simple electric circuit, a battery and a bulb.

It is important to note that charge flows though all parts of the circuit, including the battery itself. Like voltage, current is established in the circuit at nearly the speed of light—practically instantaneous. Loose electrons in the

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Paul G. Hewitt

II. CIRCUITS CONSIDERATIONS Let’s assume the battery supplies 6 volts to the circuit. A 6-volt pressure means that during each second 6 joules of energy from the battery is delivered to each coulomb of charge comprising the current. If the resistance of the bulb is 1 ohm, then in accord with Ohm’s law, the flow of charge—the current—is 6 amperes (V/R = 6 V/1 Ω = 6 amps). Six coulombs of charge flow through the circuit each second. The more current in a bulb, the brighter it glows. Remember that whereas voltage is established across a circuit, charge flows through a circuit. Energy is delivered to and dissipated at locations of circuit resistance. In the single-bulb circuit, most all the resistance is in the filament of the bulb, where energy is converted to heat and light. The resistance offered by the connecting wires and the battery interior are small enough to neglect compared with the bulb's resistance. For simplicity, we therefore ignore all resistance in the circuit except that of the bulb.

FIGURE 3. Simple parallel electric circuit, a battery and two bulbs.

When the two identical bulbs are connected in parallel, Figure 3, voltage does not divide among them. Think of the two branches as two parallel bridges across the same river. Each bulb is still energized with the full 6 volts, the current in each is still 6 amps, and each bulb glows with the same brightness of the lone bulb in Figure 1. A little thought will show that if the current in each bulb is 6 amps, the current in the battery must be 12 amps. In accord with Ohm's law, the battery supplies twice the current to the circuit because the equivalent resistance of the circuit is half that of Figure 1. Similar to an increased number of lanes for toll booths on a highway, more branches in a parallel circuit reduce resistance and allow a greater flow.

FIGURE 2. Simple series electric circuit, a battery and two bulbs.

What happens in the circuit when we add another identical bulb in series, as shown in Figure 2? Now the circuit has twice as much resistance. The voltage is the same because the battery is the same, and in accord with Ohm's law, twice the resistance for the same voltage means half as much current. So 3 amps flow in each bulb (and in every part of the circuit). In which bulb does the charge first flow? The answer is, both at once. It makes no difference as to which bulb is closer to whatever terminal of the battery. Current is established in all parts of the circuit instantaneously [2]. The 6 volts across the circuit divides among the two bulbs. Since the bulb resistances are the same, 3 volts are impressed across each bulb. This checks with Ohm's law: (3 V/1 Ω) = 3 amps. Or, for the overall circuit, (6 V/2 Ω) = 3 amps. So we see that current in the circuit is less and the bulbs are dimmer than the single bulb of the circuit in Figure 1.

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FIGURE 4. Simple parallel electric circuit, a battery and three bulbs.

Adding still another identical bulb in parallel, Figure 4, further reduces the overall circuit resistance, resulting in increased total current. Each bulb draws 6 amps, so the current supplied by the battery (and the current in the battery) is 18 amps. This is consistent with Ohm's law; for the same voltage, one-third the resistance results in three times the current. Consider points a, b, and c, in Figure 4. 2

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Circuit Happenings

A little thought will show that 6 amps flows through point a, 12 amps through point b, and 18 amps through point c. It's like buses leaving a terminal that branch into 3 streets. If 18 buses leave the terminal and branch equally along 3 streets, then 6 buses occupy a street. How many return to the terminal? All 18. Likewise with electric current—6 amps in three bulbs means 18 amps in the battery. Can we continue adding bulbs in parallel indefinitely? The answer is no, because the current in the battery increases with each addition, eventually producing an internal-heating problem. Then the internal resistance of the battery is no longer small enough to be negligible.

voltage source for both circuits is the same, but the current is less in the two-bulb circuit. So the power of the twobulb circuit of Figure 2 is less—the combined brightness of the two bulbs is less than the brightness of the single bulb of Figure 1. Let's ask the same question for the parallel circuits of Figures 3 and 4. The voltage for these circuits is the same, but again, the current is different. Current is greater in the battery when it lights three bulbs than two bulbs, so power dissipated by the battery is greater when lighting three bulbs. Brightness of the three lit bulbs is greater than the brightness of the two bulbs. Correspondingly, a battery that lights three bulbs in parallel will sooner exhaust its supply of chemical energy and go dead faster than when lighting fewer bulbs of the same resistance. It is erroneous to say that current is "used up" in an electrical circuit. The quantity that is used up (consumed) in a circuit is not current, but energy. If current diminishes, it is because the energy per unit of charge (voltage) supplied by chemical action in the battery decreases. Energy is usually dissipated as heat.

IV CONCLUSIONS In summary, we distinguish between voltage and current. A battery imparts a voltage across a circuit, producing a current that depends on battery voltage and on the resistance of the circuit. Total current in the circuit is also the current in the battery. In a series circuit, current in every part of the circuit is the same. In a parallel circuit, the sum of the currents in the parallel branches equals the current in the battery. We also distinguish between energy and power. Electric energy in the bulbs or other devices is energy transformed from chemical energy in the battery. When the supply of energy runs its course, the battery must be recharged or it goes flat—dead. The rate at which electric energy dissipates is power. A powerful battery transforms chemical energy faster than a weak battery.

FIGURE 5. Same arrangement of a simple parallel electric circuit, a battery and three bulbs.

Notice that the three circuits in Figure 5 are all the same. Whatever the orientation of the wires, each bulb is connected across the full 6 volts of the battery. The battery "senses" the three circuits as the same [3].

III. ELECTRIC POWER Consider power in the foregoing circuits. Power is energy dissipated per time. Which circuit dissipates the most energy per second? One way to look at it is to ask which circuit runs the battery down fastest? Another way is to ask which circuit is brightest when viewed from afar, so only the combined amount of light is seen [4]. The brightest light indicates the circuit with the greatest dissipation of power. First consider the series circuits of Figures 1 and 2. Will light emitted by the two dim bulbs of Figure 2 combine to be as bright as the single bulb of Figure 1? We can let the equation for electrical power guide our thinking: Power = current х voltage (P = i х V). The

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REFERENCES [1] Grayson, D. J., Concept substitution: A teaching strategy for helping students disentangle related physics concepts. Am. J. Phys. 72, 1126 - 1133 (2004). [2] Fredette, N. and Lochhead, J., Student conceptions of simple electric circuits, Phys. Teach. 19, 194-198 (1980). [3] Fredette, N., Clement, J. and Coll, J., Student misconceptions of an electric circuit: What do they mean?, Sci. Teach. 10, 280-285 (1981). [4] Livelybrooks, D., "Feel" the Difference Between Series and Parallel Circuits, Phys. Teach. 41, 102 (2003).

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Problem solving and writing I: The point of view of physics Jorge Barojas 1, 2 1

Department of Physics, School of Sciences. UNAM. Circuito Exterior, Ciudad Universitaria. A.P. 70542. C.P. 04510. México, D.F., México. 2 Member of the Seminar on Hermeneutics, at the Institute of Research in Philology, UNAM. E-mail: [emailprotected] (Received 6 July 2007; accepted 12 September 2007)

Abstract In this first paper, of a series of two, we relate the skills of problem solving and writing referring to two types of systems, those called physical and those concerning human learning. Then, the notion of semiotic representation registers is connected to the building of learning cycles. All these elements serve to propose a protocol for problem solving that contains four steps of cognitive nature and another one that is metacognitive. This protocol is applied by interpreting in detail the steps of the solution of a physics problem from the point of view of a physicist. Finally, some implications on science and technology education are discussed. Key words: Problem solving, Problem-based learning, languages in problem solving.

Resumen En este primer trabajo, de una serie de dos, relacionamos las habilidades de resolver problemas y de redactar por escrito su solución, refiriéndonos a dos tipos de sistemas, los denominados físicos y los de aprendizaje humano. Luego, conectamos la noción de registro de representación semiótica con la construcción de ciclos de aprendizaje. Esto nos permite proponer un protocolo de solución de problemas que comprende cuatro etapas de naturaleza cognitiva y una metacognitiva. La aplicación de este protocolo se ejemplifica interpretando las distintas etapas de la solución de un problema de física, resuelto desde el punto de vista de un físico. Concluimos con algunas implicaciones en educación en ciencia y tecnología. Palabras clave: Resolución de problemas, aprendizaje basado en problemas, lenguaje en la solución de problemas. PACS: 01.40.-d, 01.50-i, 01.40.gb

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Problems in systems connected with education, training, production and management can not be treated as physical problems even if they concern physical situations. We will refer to them as human learning systems if the main aim is to learn how these systems work in order to improve their functioning by looking for the solution of specific problems. They imply planning, development and evaluation of different sorts of transformation activities in human organizations where learning communities are in operation. In these cases the practical solutions are the best possible ones under certain given conditions although it is understood that answers are rather rough and might change depending on the evolution of the context. Human learning systems can be understood in a cognitive space defined by the intersection of two intellectual domains: the building of knowledge and the organization of learning. Problem solving and writing are different in academic and industrial contexts depending whether they concern physical systems or human learning systems. In any case,

I. PROBLEM SOLVING AND WRITING AS CREATIVE DESIGNS FOR LEARNING PURPOSES Educational programs try to build knowledge and also induce and monitor the development of skills, attitudes and values. In order to learn something we explore, provoke and transfer understanding concerning different types of systems. Wilson [1] considers four types of systems: natural or physical, artificially designed, for human activities, and socio-cultural. The first and second ones will be denoted as physical systems and the third and fourth ones as human learning systems [2]. In physical systems the components and interactions are rather well described in terms of organized structures, the parameters defining the system are known or can be determined with good precision because calculations and experiments can be performed, and we can estimate when the solutions have been obtained and with what kind of accuracy.

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Jorge Barojas

the most important outcomes are documents containing plans, procedures, results, recommendations… and these require an appropriate shaping of written texts that convey messages. Those messages involve chains of associations explicitly formulated and organized into data, information or knowledge that must be communicated and interpreted to produce some learning and understanding. Problem solving in physical systems uses expressions written in natural languages as well as a great variety of symbolic representations; for instance, curves, graphs, diagrams, pictures, tables, equations, schemes, models, codes and even data coming out from experiments, computer simulations and calculations, as well as multimedia applications. Problem solving in human learning systems is much more qualitative in its descriptions and representations. Depending on the type of system, the final written documents are presented in different forms and styles [3].

While solutions to problems in science are communicated in straightforward, precise and rigorous forms, narratives concerning interpretations of those solutions take advantage of the suggestive power of words and rather seldom use other forms of representations different from texts. Nevertheless, as any craft to be learned, problem solving and writing require practice as well as reflection on the experiences and works of the masters in the field. Also we do understand much better how children learn, what difficulties they have, and how they approach problem solving and writing [4,5]. Here we will refer neither to how to write nor to how to get training in problem solving. We are not concerned with the acquisition of the craftsmanship required to become a writer or a problem solver. We focus on the connections among writing, problem solving and creative design, and on some of their implications from the perspective of science and Hermeneutics: the study and interpretation of texts [6] (see Fig. 1).

•

In the past writing was considered as a problem to be solved with three elements: an initial state to start with, a final state to which one has to arrive, and a procedure to go from one state to the other.

•

Assume that problem solving is like writing, in the sense that it implies two creative processes: the design of a communication and its interpretation.

•

Then, writing the solution of a problem means to communicate and interpret the narrative of the reasoning process leading to the solution.

Figure 1. Relationships among writing, problem solving and creative design.

metacognitive dimension where the author reflects on previous thoughts and actions as well as on their consequences.

II. LANGUAGES IN PROBLEM SOLVING Here we consider that the solver of a science and technology problem behaves as a creative thinker with expertise in three types of languages: the natural language of everyday talking, the technical language of scientific disciplines with appropriate definitions of abstract terms and specific meanings according to rather well prescribed conditions of use, and, quite often the formal language of mathematics in which complex symbols usually represent difficult and complicated ideas that follow certain rules of operation under precise conceptual frameworks. The solver designs the scaffolding story of the solution and builds a discourse like a language producer managing linguistic resources (vocabulary, styles, structures...). In this sense, problem solvers behave as writers creating documents although very often they produce texts containing combinations of the three previously considered languages: natural, technical and mathematical. Problem solvers usually follow certain procedures in order to generate ideas, create plans, draft texts, and review their works. In what follows we shall consider that problem solver prepare their written documents by working in two dimensions: (1) the cognitive dimension where the conceptual design used to solve the problem is formulated, applied and communicated, and (2) the Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

A. Communication languages representation registers.

and

semiotic

Teaching and learning take place through written and verbal communications. Furthermore, the learning process very often starts and ends by using natural languages although in more advanced stages of science and engineering learning, technical and formal languages are used in all the documents written by authors who are quite familiar with such languages. For instance, written forms are usually employed to convey definitions, declare properties or present methods of solution assuming that the readers can interpret those texts. However, discussions, questions and answers involve written and verbal communications, but discursive practices concentrate on verbal expressions that leave no printed record of its existence. Sometimes we just observe their consequences leaving the door open to different interpretations. Keeping track and understanding the mental representations that are conveyed through communication processes are ways of visualizing how discourses are 5

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Problem solving and writing I: The point of view of physics

organized and delivered under learning conditions. In what follows we comment more on the idea of representation registers and then connect the use of different languages to the cognitive activities employed to operate with those registers in the process of problem solving. According to Duval [7], a semiotic representation register is a particular form of a mental register composed by any set of signs or symbols that describes the objects or events defining a given system. It serves to make explicit and to communicate to others the characteristic qualities of those objects. In mathematics we can identify semiotic representation registers of different nature: symbolic, algebraic, geometric…; therefore, conceptualization of mathematical ideas is the consequence of articulating representations belonging to different registers. The generation of semiotic representations provides a means of tracking the corresponding cognitive activity that is responsible for its appearance because such representations are expressed in language forms, although different interpretations might be provoked. In many aspects, these characteristics of learning mathematics can be applied to devise practical applications of problem solving in natural sciences such as chemistry and physics as well as in engineering. Without any intention of proving it, we propose that to communicate the solution of a problem is equivalent to describing a discursive practice undertaken through cognitive activities involving semiotic representation registers. Duval distinguishes three conceptual activities serving to handle semiotic representation registers [7]: formation, treatment and conversion. Formation activity is accomplished when a register exists where certain signs or symbols are used to describe an object and therefore that such description can be operated and modified. In the treatment activity there are explicit rules indicating how and when those symbols must be operated. Finally, the conversion activity implies the existence of certain signs that can be identified in two different representation registers and a transition occurs between them, although there might be no explicit rule controlling such an articulated transformation. B. Learning cycles and a problem solving protocol

The semiotic representation registers that go through the conceptual activities of formation, treatment and conversion integrate learning cycles [8] which involve four stages (S) to be worked out in the context of problem solving in a physical system: (S1) everyday natural language is introduced by means of words in order to make interpretations or to establish consequences about the statement of the problem, (S2) the learners´ worldviews are presented in the technical language of a scientific or technological discipline by analyzing a problematic situation in abstract terms serving to describe possible scenarios that might lead to the solution of the problem, (S3) theoretical model structures are applied through the use of formal languages that lead to the presentation of a design of the solution, and (S4) changes among different representation registers expressed in any of the previous languages are produced when descriptions, calculations and predictions serve to implement the solution of the problem. The transitions between these four stages define the conceptual activities that involve semiotic representation registers: formation corresponds to S1 going into S2, treatment means S2 going into S3 and conversion refers to S3 going into S4. Associated to these steps S1 to S4 we propose a problem solving protocol called TADIR, as a way of traveling through the learning cycle in which semiotic representation registers are formulated, treated and converted [9]. In this way the solver of a problem communicates thoughts, manipulates symbols, goes through representations by using different languages, and eventually makes some calculations or performs experiments to get and interpret the solution. The name of this protocol, TADIR, comes from the initials of the steps summarized in Table I.

Table I. Steps of the TADIR problem solving protocol applied to a physical system STEPS

T: Translation

A: Analysis

DESCRIPTION If the statement describing the problem situation is formulated in everyday natural language, then such a statement needs to be reformulated in the technical language of a scientific or technological discipline by using abstract notions and conceptual relationships. In this reformulation the objects and events characterizing the physical system under consideration are identified. All the assumptions required to interpret the problematic situation concerning the physical system and to build the solution of the problem are explicitly described by taking into account models and theories of relevance. Although this description is mainly made in terms of a technical language it also might imply the use of formal languages. The general characteristics of possible answers are also considered.

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D: Design

I: Implementation

R: Review

A scheme or conceptual diagram showing the line of reasoning expected to lead toward the solution is proposed mostly in terms of a formal language. The main components of this scheme can be related to the following types of knowledge: (1) the basic concepts serving to define and solve the problem, (2) the conceptual relationships required to describe the conditions defining the system, and (3) the ancillary calculations useful in answering the questions asked in the statement of the problem. A convenient procedure to arrive at such a scheme consists of preparing a narrative of the solution by organizing a short discourse in a verbal form describing its components then writing it in natural and technical languages and finally making a diagrammatic scheme that represents how it works. Appropriate criteria, definitions, information and procedures are applied in order to follow the Design, and if required, experiments and calculations are performed to obtain the solution. By devising the procedure to get the solution of the problem, quite often the formal path depicted in the Design step is expressed in natural language, but enriched by the transitions already accomplished among the natural, technical and formal languages. All the previous steps are considered again by applying metacognitive procedures in order to detect possible conceptual errors, false or unnecessary assumptions, improper reasoning, wrong calculations, results obtained under different conditions, and confrontation with predicted answers.

of water? We begin by presenting in Fig. 2 a typical answer obtained just by playing the game of plugging equations and numbers, as in high school physics lectures or textbooks.

III. THE POINT OF VIEW OF A PHYSICIST SOLVING A PHYSICS PROBLEM The problem to be solved is the following: What fraction of the total volume of an iceberg remains over the surface

(I)

Basic equations Weight of the iceberg: Buoyant force: Total Volume: Buoyancy condition

(II)

W = (ρIV)g B = (ρWVs)g V = Vf + Vs W=B

(1) (2) (3) (4)

Algebraic and arithmetic operations ρI(Vf + Vs) = ρWVs Vf / Vs = (ρW - ρI) / ρI Vf / Vs = (1000 – 917) / 917 = 83 / 917 = 0.0905 Vf / Vs ≈ 9 %

(5) (6) (7) (8)

Figure 2. A formal solution to the iceberg buoyancy problem

For anyone foreign to physics this text is written in a strange language also it is full of nonsense if you do not understand and know how to apply Archimedes´ Principle. In what follows we shall see how the TADIR protocol makes these issues clearer.

The physical system is shown in Fig. 3. It is composed by one object (the iceberg) surrounded by air and water, all of them under the action of the force of gravity. The event under consideration is the floating of the iceberg. The physical situation is then described in the following terms: The iceberg is a physical system characterized by a mass M and a volume V. There is a part of the iceberg that is over the water surface and floats (Vf), and another part that is surrounded by water and sinks (Vs). Two forces act on the iceberg: the downward weight (W) applied at the center of gravity, and the upward buoyant force (B) applied at the center of buoyancy.

A. The cognitive dimension of the solution of a physics problem TRANSLATION: using the language of physics the text of the problem is interpreted and the objects and events that define its context are described.

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air

B Vf Vf: volume that floats Vs: volume that sinks V: total volume ρI: density of ice (917 kg/m3) ρW: density of water (1000 kg/m3) g: acceleration of gravity W: weight of the iceberg B: buoyant force (thrust)

iceberg

water Vs W

Figure 3. Forces, volumes and notation for the iceberg problem

Expected answer: the problem asks for the fraction of the total volume (V) that floats (Vf), but available data only allow us to express the ratio between the volumes Vf / Vs. This ratio is a number without dimensions and is usually given as a percentage.

ANALYSIS: assumptions are made explicit by using models and theories of importance in the discipline and an expected answer is suggested. A1: The total volume of the iceberg is constant: V = Vf + Vs, because the volumes of the sunk part (Vs) and the floating part (Vf) are constant. We consider that the ice does not melt and there are no changes in the meteorological conditions. A2: The densities of ice (ρI) and water (ρW) are constant; both components of the physical system are hom*ogeneous and do not suffer any transformation. A3: We do not take into account the composition of seawater and consider ρW = 1000 kg/m3 instead of ρW = ρSW = 1024 kg/m3, where SW means salted water. A4: The iceberg floats on water in a region where the surface is flat compared to the curvature of Earth; therefore, the acceleration of gravity (g) is constant. A5: The buoyancy of the iceberg is due to the static equilibrium of two forces: the weight of the iceberg W and the buoyant force B produced by the water surrounding the iceberg. This condition implies that the magnitudes of these vectors are equal: W = B, where W = |W| and B = |B|. A6: The center of buoyancy and the center of gravity are along the same vertical line; there is no tilting and no restoration torque needs to be applied to maintain the iceberg in the same orientation with respect to that vertical line. A7: The conditions for the application of Archimedes´ Principle are satisfied: “a body wholly or partially immersed in a fluid will be buoyed up by a thrust force (B) equal to the weight of the fluid (Vs) that it displaces”, such that B = (ρWVs)g.

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DESIGN: a diagram describing the main components of the solution is considered. The Design step, like flux diagrams in programming and conceptual maps in cognitive psychology only provide rough approximations. They are not unique diagrammatic representations of possible paths towards the solution of the problem. The solution to this problem is given in Figs. 4 and 5. The complete design of the solution integrates the three kinds of knowledge used to solve the problem as indicated in Fig. 4 (basic ideas, conceptual relationships and ancillary calculations). The path describing one possible solution is depicted graphically by the Design in Fig. 5, where assumptions A1 to A7 are explicitly taken into account. IMPLEMENTATION: by following the design the answer to the problem is found (see Fig. 6). Although Figs. 2 and 6 contain the same number of equations (1) to (8), Fig. 6 comes after the application of the first three steps of TADIR: Translation (Fig. 3), Analysis (assumptions A1 to A7 and description of the expected answer) and Design (Figs. 4 and 5). This shows why and how the Implementation step requires the previous three steps (TAD) as a sort of a prerequisite to get the solution.

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Jorge Barojas

(1)

Basic idea solving the problem (Archimedes´ Principle)

EQUILIBRIUM OF FORCES

(2)

WEIGHT = THRUST

Conceptual relationships (definitions of weight and mass)

WEIGHT = MASS x GRAVITY

MASS = DENSITY x VOLUME

(3)

Ancillary calculations (forces in equilibrium)

WEIGHT OF THE ICEBERG

WEIGHT OF WATER IN Vs (DISPLACED SUNKEN PART)

THRUST

Figure 4. Elements of the design for the solution of the buoyancy problem.

A4 A5 WEIGHT OF THE ICEBERG WEIGHT = MASS x GRAVITY EQUILIBRIUM OF FORCES

A1 WEIGHT = THRUST MASS = DENSITY x VOLUME

THRUST

WEIGHT OF WATER IN Vs (DISPLACED SUNKEN PART)

A3 A7 Figure 5. Design of the complete solution of the buoyancy problem.

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Problem solving and writing I: The point of view of physics

Basic equations Weight of the iceberg: Buoyant force: Total Volume: Buoyancy condition

W = (ρIV)g B = (ρWVs)g V = Vf + Vs W=B

(1) (2) (3) (4)

(II) Algebraic and arithmetic operations (a) Replace (1) and (2) in (4): W = (ρIV)g = B = (ρWVs)g Use (3) in the previous equation: ρIVg = ρI(Vf + Vs)g = ρWVsg Simplify the factor g: ρI(Vf + Vs) = ρWVs

(5)

(b) Do the algebraic operations in (5): ρIVf + ρIVs = ρWVs, and ρIVf = ρWVs - ρIVs = (ρW - ρI)Vs Obtain the ratio of the two volumes: ρIVf / Vs= (ρW - ρI), and Vf / Vs = (ρW - ρI) / ρI (c) Substitute the numerical values of the densities in (6): Vf / Vs = (1000 – 917) / 917 = 83 / 917 = 0.0905 Obtain the percentage of the ratio (7): Vf / Vs ≈ 9 %

(6)

(7)

(8)

Figure 6. Details of the complete solution of the buoyancy problem.

Equations (1) to (8) in Fig. 6 correspond to processes of different nature: while process I (Basic equations) deal with physical concepts and definitions belonging to the codified knowledge of the discipline, process II (Algebraic and arithmetic operations) implies routine work required for handling the equations and getting the solution. We could think that the problem solving process is already finished because the result obtained in equation (8) answers the question addressed by the problem. However, the TADIR methodology includes one last step (the Review: R) associated with metacognition [10].

associated. In what follows we just present one of the many possibilities of interpreting this review step (R) for the buoyancy problem. RT: Inspect the original statement of the problem, examine if the elements given in the Translation serve to obtain correct answers to the problem, and check if the solution can be meaningfully interpreted in natural everyday language. Going back to the statement of the problem we now judge if the answer given in equation (8) of Fig. 6 responds to what has been asked. This solution indicates that less than one tenth of the total volume of the iceberg is floating and nine tenths are under water. Unless we give the value of the total volume of the iceberg (V) we have no idea of the corresponding values of the volumes of the part of the iceberg that floats (Vf) and the one sunken (Vs); we are only able to calculate their ratio Vf / Vs. We can regard other aspects of the result, such as order of magnitude, units, and values of certain quantities under limiting cases. For instance, we might wonder what happens in equation (6) when the densities of water and ice are equal (ρW = ρI), which implies that the ratio of volumes Vf / Vs = 0 and no part of the iceberg is floating (Vf = 0 and Vs = V). Using these values for the volumes in equations (1) and (2) we will find that again B = W, but in this case the buoyancy problem is meaningless. RA: Consider if all the assumptions made in the Analysis have been appropriately employed, look for the implications of modifying them or ponder the

B. The metacognitive dimension of the solution of a physics problem. The metacognitive dimension of TADIR corresponds to the Review step (R) and can be used as a test in two ways: (1) to scrutinize the practical scaffoldings applied for chaining ideas while unfolding the solution procedure, and (2) to examine how the readers understand the discourse showing how the solution was obtained. Both ways are quite related to the issue of interpretation of the text of the solution provided by the physicist because we can present the results of our reflections on what has been done in problem solving in many different ways. This metacognitive step has four components, which are identified by a sub index indicating the capital letter of the previous four cognitive steps (TADI) to which it is

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Jorge Barojas

consequences of introducing different ones. We might also think about any differences between the expected answer and the solution obtained after applying the first four steps of the protocol (TADI). The first four assumptions (A1 - A4) refer to the interacting bodies: the iceberg, the air surrounding the floating part, the water surrounding the sunken part, and Earth (responsible for the gravitational attraction field due to which physical bodies have weight). The other assumptions (A5 – A7) deal with buoyancy conditions. If assumptions A1 and A2 are not maintained, we must know the variations of volumes and densities. However, if in A3 we take into account salted water instead of pure water (ρW Æ ρSW = 1024 kg/m3), then the ratio of volumes will be different and in equation (6) we will obtain Vf / Vs = (1024 – 917) / 917 = 107 / 917 = 0.1167, which corresponds to a percentage Vf / Vs ≈ 12 % instead of the 9 % obtained previously, meaning that the iceberg sinks more in pure water than in salted water. Although the acceleration of gravity g does not appear in equation (6), the assumption A4 is still applicable; under these conditions the direction of the force of gravity is always perpendicular to the surface of the iceberg. The curvature of Earth does not matter due to the relatively small size of the iceberg. A treatment of the problem at the level of complexity here considered implies that assumptions A5 and A6 are not modified: the iceberg is in stable equilibrium because weight and thrust are equal in magnitude, opposite in direction and applied on the same vertical line. Also assumption A7 is basic, because what this assumption means is that the conditions for applying Archimedes´ Principle exist. In this example we just applied Archimedes´ Principle, we are not concerned with instruction procedures or learning activities designed to promote its understanding. This Principle is based on the fact that the buoyant force is produced by differences in pressure of the water surrounding the iceberg. As the pressure under water increases with depth, the pressure on the top of the part of the iceberg that sinks is lower compared to the pressure at the bottom of that same part. This is why the buoyant force goes up, against the weight that goes down. RD: Be critical about other paths or procedures applied in the Design in order to obtain the solution under two extreme conditions: (1) the conceptual structure of the Design remains the same although certain simplifications or more direct paths towards the solution are introduced or (2) something completely different is taken into account and a new Design is implemented for instance when the solution to a given problem is taken as a first level approach to solve a more difficult problem in which the previous physical system is just a part of a more complex system. If assumptions A5 and A6 do not apply (the forces B and W are not on the same vertical line), then the left hand side of the Design in Fig. 5 must be modified. Usually the center of gravity where the weight W of the iceberg is applied does not change. This cannot be the case with the

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center of buoyancy where thrust B is applied (the center of gravity of volume Vs when it is full of water). If for any reason the center of buoyancy is on a line different from the vertical that goes through the center of gravity of the complete iceberg, then a torque is produced. Depending on the magnitude of this torque the iceberg might change its orientation, oscillate for a while and then recover its vertical equilibrium. It could also happen that the iceberg leans to one side, turns over and then sinks completely. RI: Check that all the mathematical operations required to obtain the solution are correct and that the Implementation has been done accurately and completely. The review of this step relates to procedure II in Fig. 6 (Algebraic and arithmetic operations). Therefore, we expect possible modifications in the calculations only if one or more of the previous steps (Translation, Analysis and Design) are changed. However, under realistic conditions the problem is much more complex and will require the application of advanced knowledge in hydrostatics at the level of naval engineering. In such a case the interpretation will require the knowledge of a highly qualified expert.

IV. IMPLICATIONS IN SCIENCE TECHNOLOGY EDUCATION

AND

In science and technology education, problem solvers and writers must attain productivity, functionality, ergonomics, and esthetics. Furthermore, we might request written products with the following qualities: scholar accuracy, technical soundness and pedagogical effectiveness [11]. Deliberate problem solving according to a given procedure, like TADIR or any other one, must neither obstruct creativity nor impede discoveries. What has been said of problem solving in Physics could be extended to other disciplines in natural science, mathematics and engineering. For many centuries, communications were made from the mind of the author to the surface of printed pages in books and journals. Nowadays, mainly due to the progress in Information and Communication Technology (ICT), there is another surface: the computer screen [12,13]. Under these conditions, communications acquire the third dimension of electronic networks, the context where new and powerful scenarios for e-learning are available. The consequence is a kind of universal access to a broader and deeper universe that goes beyond the printed press [14,15,16]. It is in the previous contexts that the TADIR problem solving protocol is a useful instrument to interpret the solution of problems in physical systems. In the sequel of this paper (part II) we will see the solution of the buoyancy problem here considered but from the perspective of a writer. Also we will present the TADIR protocol from the perspective of Hermeneutics and apply it to a problem in a human learning system.

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Problem solving and writing I: The point of view of physics

[9] Barojas, J, and Pérez y Pérez, R., Physics and Creativity: Problem Solving and Learning Contexts. Industry and Higher Education 15, 431-439 (2001). [10] Schoenfeld, A. (Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics, in Grouws, D. A. (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, New York, 334-370, 1992). [11] Stephenson, R. S. (The Open Course Model: Collaborative development of Online Content, in Santana, G. A. and Uskov, V. (Eds.) Computers and Advanced Technology in Education, IASTED ACTA Press, Zurich 150–153, 2002). [12] Jonassen, D., Peck, H. K. L. and Wilson, B. G. (Learning with technology: A Constructivist Perspective, Englewood Cliffs, Merrill-Prentice Hall, New Jersey, 1999). [13] Teasley, S. D. and Roschelle, J. (Computers as cognitive tools, Lawrence Erlbaum Associates, New Jersey, 1993). [14] Forcier, R. C., (The Computer as an Educational Tool: Productivity and Problem Solving, Merrill - Prentice Hall, New Jersey, 1999). [15] Novak, G. M., Patterson, E. T. (Gavrin, A. G. and Christian, W., Just in Time Teaching. Blending Active Learning with Web Technology, Prentice Hall, New Jersey, 1999). [16] Linn, M.C. and Hsi, S. (Computers, Teacher, Peers: Science learning partners, Lawrence Erlbaum Associates, New Jersey, 2000).

ACKNOWLEDGENMENTS The author acknowledges information coming from the research projects on mathematics education by Nahina Dehesa.

REFERENCES [1] Wilson, B. (Systems: Concepts, Methodologies and Applications, John Wiley, New York, 1990). [2] Barojas, J., Teacher training as collaborative problem solving, Educational Technology and Society 6, 1-10 (2003). [3] Sharples, M. (How we write, Routledge, London, 1992). [4] Karmiloff-Smith, A. (Beyond Modularity: A Developmental Perspective on Cognitive Science, MIT Press, Cambridge, 1992). [5] Driver, R., Guesne, N. and Tiberghien, A. (Children´s Ideas in Science, Taylor and Francis, London, 1985). [6] Gadamer, H-G. (Truth and Method, Sheed and Ward, London, 1996). [7] Duval, R., Registres de répresentation sémiotique et functionement cognitif de la pensée (Registers of semiotic representations and cognitive functioning of thinking), Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 5, IREM Strasbourg (1993). [8] Barojas, J. and Dehesa, N., Mathematics for Social Scientists: Learning Cycles and Teaching Strategies, Industry and Higher Education 15, 269-277 (2001).

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Periodic motions: How their period changes with amplitude of the oscillations and the friction? H. G. Riveros and E. Cabrera Bravo Instituto de Física-UNAM, Ciudad Universitaria, Apartado Postal 20-364, México 04510, D. F. E-mail: [emailprotected] (Received 4 August 2007; accepted 27 August 2007)

Abstract The pendulum is a classical experiment, easy to perform and produces data with very simple equipment. The change in the period with the amplitude appears even with small amplitudes if you have some precision in the period. To measure amplitudes larger than 90° we need to change the cord for a rigid rod. We found that for a cylindrical magnet hanging horizontally in the Earth magnetic field, the movement equation is similar to that of a pendulum. We measured amplitudes and times so we can fit a numerical solution to the equation. The initial amplitude is near to 162° and we found that the change in the period comes mainly from the non-linear terms in the equation, and that the friction (either proportional to the angular velocity or its square) only reduces the amplitude with time. With periods from 9 to 4 seconds, the measurements with a protractor can be made manually for many oscillations. For the numerical calculations Δt needs to be 0.0001 seconds to conserve the energy. Key words: Laboratory experiments and apparatus, Numerical simulation studies, Rotational dynamics.

Resumen El péndulo es un experimento clásico, fácil de realizar y proporciona datos con equipo muy simple. El cambio en el período con la amplitud se nota aún con amplitudes pequeñas si se mide el período con cierta precisión. Medir amplitudes mayores de 90° requiere utilizar una barra rígida en lugar de una cuerda. Encontramos que para un imán cilíndrico colgado horizontalmente en el campo magnético terrestre, la ecuación de movimiento es similar a la de un péndulo. Medimos amplitudes y tiempos para ajustar una solución numérica. La amplitud inicial es cercana a 162° y encontramos que el cambio en el período proviene de la no-linealidad de la ecuación, y que la fricción (proporcional a la velocidad o a su cuadrado) solo cambia la amplitud con el tiempo. Con períodos de 9 a 4 segundos el medir con un transportador se puede hacer manualmente para muchas oscilaciones. Para el cálculo numérico se necesita que Δt sea 0.0001 segundos para que se conserve la energía. Palabras clave: Aparatos y experimentos de laboratorio, estudios de simulación numérica, dinámica rotacional.

PACS: 01.50.Pa, 75.40.Mg, 45.20.d

ISSN 1870-9095

the topic, and then the analytical solutions to the harmonic oscillator including a friction term proportional to the speed, the pendulum with a period amplitude dependent, the torsion pendulum with the same solution as the harmonic oscillator and a torsion pendulum made with a horizontal magnet in the Earth magnetic field. The measured data will come from this last system. This paper is organized as follows. In Sect. II we present the basic theory of the harmonic oscillator, pendulum, torsion pendulum, and a magnet in a magnetic field. Also we describe our experimental setting and present some of our results. By using numerical methods in Sect. III we take into account the friction. Finally, in Sect. IV we discuss our main results.

I. INTRODUCCIÓN The periodic motion exhibited by a simple pendulum is harmonic only for small angle oscillations [1]. Beyond this limit, the equation of motion is nonlinear. We use data from a very simple experiment, to illustrate how to solve numerically those nonlinear equations. Many of the problems to be solved by our students in real life required numerical solutions, so we need to teach them practical hints about the size of the required time interval or fitting parameters graphically. We found that the change in the period comes mainly from the non-linear terms in the equation, and that the friction (either proportional to the angular velocity or its square) only reduces the amplitude with time. We will mention some of the previous work on Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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H. G. Riveros and E. Cabrera Bravo

In the approximation valid for small amplitudes (sin θ ≈ θ), the equation becomes that of a harmonic oscillator (d2θ/dt2 = -gθ/l) with a constant period T = 2π√l/g, independent of the amplitude of the movement. Analytically the equation produces a solution in a series: T = T0 ( 1 +(12/22)* sen2(θ0/2) +(12/22)*(32/42)*sen4(θ0/2) +…..) where θ0 is the amplitude and T0 is the period for the harmonic oscillator (2π(l/g)1/2) [12]. Table I shows the calculated values T/T0 for values from 1° to 25° for the amplitude of the movement for 1 and 2 terms of the series.

II. THEORY Although an integral expression exists for the period of the nonlinear pendulum, it is usually not discussed in introductory physics classes because it is not possible to evaluate the integral exactly in terms of elementary functions [2]. Simple approximate expression has been derived for the dependence of the period of a simple pendulum on the amplitude [3,4]. There are several measurements with enough precision to detect the change in the period with the amplitude [5,6], and with angular amplitudes [7,8] near 70°, even the Fourier transform has been fitted [9] and amplitudes near 160° has been measured [10] for a rigid rod pendulum. An oscillating magnet in the magnetic field of a coil has been measured [11] for a few oscillations.

TABLE I. Period T (normalized to T0) as a function of the amplitude of the oscillation for 1 and 2 terms of the series.

Angle ° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A. Harmonic oscillator The classical equation for a harmonic motion, a mass m supported by a spring of elastic constant k, is: md2x/dt2 = -kx ,

(1)

x = A sin(ωt + β),

(2)

with a solution:

where A is the amplitude of the periodic movement, the angular frequency ω = (k/m)1/2 and β the initial angular phase. The period T = 2π(m/k)1/2 and amplitude A are constants. A more realistic model introduces a friction force proportional to the velocity (λv) so the equation is: md2x/dt2 = -λdx/dt –kx,

(3)

where λ is the friction coefficient. The analytical solution is: x = Ae-γtsin(ω’t+β),

(4)

where γ = λ/2m, so the equation predicts that the amplitude decays exponentially with the time and the angular frequency ω’ is given by [1]: ω’ = (ω2 – γ2)1/2,

(5)

where ω is the calculated frequency without friction. The time constant τ = 1/γ measures how fast the amplitude decays, if t = τ the amplitude decays to A/e = 0.37A. If ω = 1 and τ = 100 s, then γ =0.01 and we need to measure ω’ with 5 digits to detect the change in the period. The decaying amplitude allows an easy measurement of the friction coefficient.

Applying Newton’s Second Law to the movement of a pendulum on an inextensible cord, a punctual mass and without friction we obtain: l(d θ/dt ) = - g sin θ, 2

C. Torsion Pendulum

(6)

For a wire supporting an object with an inertia moment I, the applied torque τ is proportional to the torsion angle θ (τ = -kθ) where k is the torsion elastic constant.

where θ is the angle from the vertical, l is length of the pendulum and g the acceleration of gravity. Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

T/To 2terms 1.000019 1.000076 1.000171 1.000305 1.000476 1.000686 1.000934 1.001220 1.001544 1.001907 1.002308 1.002748 1.003227 1.003744 1.004300 1.004895 1.005529 1.006202 1.006915 1.007666 1.008458 1.009288 1.010159 1.011070 1.012020

To measure those small changes we need precision on the measurements, with 0.1% (three digits) we should see the change in the period from 8° of amplitude, but for 1% (two digits) is from 23°-24°. Usually the students uses amplitudes near 30° and measure with three digits, they detect the change neglecting it because the book says that the period is a constant!

B. Pendulum

T/To 1term 1.000019 1.000076 1.000171 1.000304 1.000476 1.000685 1.000932 1.001216 1.001539 1.001899 1.002297 1.002732 1.003204 1.003713 1.004259 1.004842 1.005462 1.006118 1.006810 1.007538 1.008302 1.009102 1.009937 1.010807 1.011712

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Periodic motions: How their period changes with amplitude of the oscillations and the friction TABLE II. Amplitude of oscillation for a horizontal magnet moving in the Earth magnetic field. The period is the difference in time between two consecutive maximum amplitudes. Uncertainties are ± 1° y ± 0.1 s for the amplitude and time. The chronometer gives a resolution of 0.01 s, but operated manually the repeatability of the operating finger is about 0.1 s. The measured period is too noisy, so we used a moving average over 3 periods for Figure 2 and estimated a maximum error of 1 s for fitting purposes.

In this case the equation for the movement is: I(d θ/dt ) = - k θ, 2

(7)

corresponding to an harmonic oscillator, with a period T = 2π√I/k independent of the amplitude. Usually a copper wire can be twisted several turns within the elastic region. With a cooper wire, it is easy to test this result, the period is a constant.

Ángle ° 162 155 150 146 142 139 136 133 131 128 125 122 121 119 116 115 114 110 109 107 106 104 102 101 99 98 97 95 94 92 91 90

D. Magnet in a Magnetic Field For a cylindrical magnet (with a magnetic dipole moment M) supported by a long thin cord, when we can neglect the torque coming from the cord compared with the torque provided by the Earth magnetic field B ( τ = MxB ). Then: I(d2θ/dt2) = -MB sin θ,

(8)

with a constant period T = 2π√I/MB for small values for the amplitude. Theoretically the series solution for the pendulum may be applied here and the maximum amplitude is near 180°. For a pendulum with a cord the maximum amplitude is 90°, so it provides a better experiment to verify the change in the period with the amplitude of oscillation. We made the experiment using 12 small cylindrical magnets together forming a long magnet. It hangs horizontally from a thin cord trapped between the 6 and 7 magnets (Fig.1). Then we have really a compass oriented in the north-south direction, with a protractor aligned with the supported cord below the magnet it is easy to measure the maximum amplitude of many oscillations. The periods change from 9 to 4 seconds giving enough time to write the amplitude and its time. The period for each oscillation is the difference in time between two consecutive measurements. Table II shows the measured values for the amplitude, its time and the calculated period. Friction reduces the measured amplitudes.

Period s — 8.67 7.96 7.50 7.31 7.13 6.79 5.56 7.50 6.49 6.33 6.22 6.16 6.10 6.23 6.19 5.90 5.61 5.57 5.80 6.00 5.36 6.01 4.84 5.55 5.64 5.53 5.37 5.88 4.76 5.32 5.18

Ángle ° 88 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 76 75 74 73 72 71 70 70 69 68 67 66 65 64 64 63 62 61 60 59

Time s 203.49 209.34 213.88 220.64 224.35 228.50 233.44 239.84 245.02 250.18 255.45 260.30 265.20 270.63 275.4 280.79 285.6 290.55 295.21 300.42 305.79 310.32 315.00 320.14 325.63 330.08 335.96 339.5 344.87 349.81 354.79 359.40

Period s 5.50 5.85 4.54 6.76 3.71 4.15 4.94 6.40 5.18 5.16 5.27 4.85 4.90 5.43 4.77 5.39 4.81 4.95 4.66 5.21 5.37 4.53 4.68 5.14 5.49 4.45 5.88 3.54 5.37 4.94 4.98 4.61

From Figure 2 we see that we need up to 16 terms to obtain agreement between the experimental and calculated values without any friction. But we see the friction on the decaying values for the amplitude. The analytical solution for a harmonic oscillator (with a period independent of the amplitude) with a friction force proportional to the velocity of the movement (ff = -λv) is given by Eq. (4), the equation predicts that the amplitude decays exponentially with time. Figure 3 shows an exponential curve fitted to the data with γ = 0.0027 second-1, a small change in γ produces a better fit on the beginning or on the end of the data. To improve the model we need either a γ changing with the speed or a

FIGURE 1. Hanging magnet above protractor.

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Time s 7.53 16.20 24.16 31.66 38.97 46.10 52.89 58.45 65.95 72.44 78.77 84.99 91.15 97.25 103.48 109.67 115.57 121.18 126.75 132.55 138.55 143.91 149.92 154.76 160.31 165.95 171.48 176.85 182.73 187.49 192.81 197.99

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H. G. Riveros and E. Cabrera Bravo

friction force proportional to the square of the velocity (or other exponent near to 2). The friction parameter is wrong because the theory assumes that the period is independent of the amplitude, approximation not valid for the large amplitudes measured.

160 y = 155.88e

Amplitude°

140

2 1.9 1.8

-0.0027x

R = 0.9971 120 100 80 60 40

1.7 1.6 1.5 1.4 1.3

100

200

300

400

Time s

FIGURE. 3. Measured and fitted decaying amplitude of the oscillation. Experimental values as points and fitted equation the line.

1.2 1.1 1 0

100

150

200

An gl e ° T/To

1 Term

8 Terms

III. FRICTION 16 Terms

We can make a numerical calculation to take into account the friction, either as a force proportional to the velocity or to the square of the velocity. Equation (8) gives the torque from the Earth magnetic field B, for small amplitudes (sin θ ≈ θ) the period is T = 2π√I/MB.

FIGURE 2. Measured values for T/T0 and calculated values for the series obtained without the approximation sin θ = θ

FIGURE 4. Calculated oscillations and maximum amplitude measured (+) for a friction force proportional to the angular velocity.

Assuming a friction proportional to the angular speed ω or to its square: I(d2θ/dt2) =-λ(dθ/dt)-MB sinθ,

d2θ/dt2 =-(λ/I)*(dθ/dt)-(MB/I)*sin θ = α .

To solve Eq. (10) numerically we need to fit values for the initial angle and angular velocity, and the values for λ/I and MB/I. The time increment Δt needs to be small compared with the period. The calculated solution should be indepen-

(9)

where λ is the constant of proportionality for the friction force. Then:

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(10)

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Periodic motions: How their period changes with amplitude of the oscillations and the friction

FIGURE 5. Calculated oscillations and maximum amplitude measured (+) for a friction force proportional to the square of the angular velocity.

dent of this value, reducing more than needed only increases the computer time. The initial values are used to calculate the first value for α, then (ω = dθ/dt) the increment in angular velocity is ∆ω = α∆t,

(11)

ωf = ∆ω + ωi.

(12)

The increment in the angle θ is: ∆θ = (ωi + ωf )*∆t/2,

(13)

θf = ∆θ + θi.

(14)

Using the calculated values, we can calculate the next value for the acceleration α making the same calculations for the next time interval. When calculating the friction force proportional to ω2 is convenient to multiply ω by its magnitude so the product keeps the sign of ω, so the friction force is against the ω direction. From the harmonic oscillator equation we obtain that MB/I = 4*π2/T02 where T0 is the measured period for small amplitude oscillations. Figures 4 and 5 show the agreement in amplitude and the period for the numerical calculation with an initial angle θ of -153° and initial angular velocity ω = -0.63 s-1, λ/I = 0.0046 s-2 and MB/I = 1.97 s-2 (T0 = 4.48 s) for friction proportional to angular speed. For a friction proportional to the square of ω, only changes λ/I = 0.0024 s-2 and MB/I = 1.93 s-2 (T0 = 4.52 s). We try several Δt for the numerical calculations, each time reducing in half, until Δt = 0.0001s the amplitude for zero friction becomes constant and the period becomes independent of Δt. Figure 4 shows agreement with the amplitude of the decaying oscillation and the period agreed up to 27 oscillations. Later the deviations are larger than the estimated 1 second uncertain.

FIGURE 6. Initial cycles for the angular velocity ω showing a non-harmonic movement.

Figure 5 shows systematic deviation from the decaying amplitude and deviations also for the period. So the linear friction is a better approximation but it need some else to fit also the experimental change in period after 27 oscillations.

FIGURE 7. Moving average of three measured periods and calculated values for the period without friction. Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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H. G. Riveros and E. Cabrera Bravo

The non-harmonic character of the movement is shown in Figure 6 with the angular velocity ω for a few initial cycles. Using the same numerical calculation with λ/I = 0 (without friction) we may calculate the period as a function of the amplitude. Figure 7 shows the comparison between the moving average of three measured periods and the calculated values. Also shows that only for the maximum measured amplitude, the friction changes the period of the movement.

REFERENCES [1] Serway R. A. and Beichner R. J. (Physics for Scientists and Engineers, Harcourt Brace, 5th ed. Orlando, FL, 2000). [2] Thornton S. T. and Marion J. B. (Classical Dynamics of Particles and Systems, Brooks/Cole 5th ed. New York, 2004). [3] Lima F. M. S. and Arun P., Am. J. Phys. 74, 892-895 (2006). [4] Ganley W. P., Am. J. Phys. 53, 73-76 (1985). [5] Smith M. K., Am. J. Phys. 32, 632-633 (1964). [6] Li, S. and Feng, S., Am. J. Phys. 35, 1071-1073 (1977). [7] Schery, S. D., Am. J. Phys. 44, 666 (1976). [8] Fulcher, L. P. and Davis, B. F., Am. J. Phys. 44, 51 (1976). [9] Zilio S. C, Am. J. Phys. 50, 450-452 (1982). [10] Hall, D. E. and Shea, M. D., Am. J. Phys. 45, 355357 (1977). [11] Bisquert, J., Hurtado, E., Mafé, S. and Piña, J., Am. J. Phys. 58, 838-843 (1990). [12] Kittel, C, Knight, W. D. and Ruderman, M. A. (Mechanics: Berkeley Physics Course Vol. 1, McGraw Hill Book C., 1th edition, NY, 1962).

IV. CONCLUSIONS The periodic movement of a horizontal magnet in the Earth magnetic field provides easy data for the amplitude and time measurements, which can be used to fit numerically the parameters of the equation related to the dipolar magnetic moment, inertia moment and friction. The friction changes the amplitude, but with slight effect in the period. For students at college level the data is a good example to show the power of numerical calculations and the need for moving averages. If a reader desires to exercise fitting parameters we can provide a program to fit a friction linear or quadratic for a time T, Δt, initial angle and angular velocity, period and friction coefficient.

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Estrategia EE (Excel-Euler) en la enseñanza de la Física Ricardo Buzzo Garrao Instituto de Física, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Avenida Brasil 2950, Valparaíso, Chile. E-mail: [emailprotected] (Recibido el 18 de Julio de 2007; aceptado el 12 de Agosto de 2007) Resumen Este trabajo pretende mostrar los beneficios en la enseñanza de ciertos tópicos de Física, del uso en conjunto de dos herramientas: un método numérico como el algoritmo de Euler y un programa utilitario como la planilla electrónica Excel. Permite abordar en cursos básicos de Física, interesantes problemas que comúnmente no se tratan por no disponer de las herramientas matemáticas adecuadas. A través de esta metodología se postula la ventaja de tener posibilidad de acceder con facilidad a soluciones que permitan visualizar la evolución temporal de los sistemas estudiados, tratando así de lograr una conceptualización numérica y gráfica. Palabras clave: Enseñanza de la mecánica, Preconcepciones en Física, Métodos numéricos y planillas electrónicas.

Abstract This work intends to show the benefits, in the teaching of some topics in Physics, of the joint use of two tools: a numerical method like Euler’s algorithm, and a spreadsheet program, like Excel™. This approach makes it possible to study interesting problems that are not usually considered in introductory physics courses because the necessary mathematical tools are not available. By using this methodology we have the advantage of easily accessing solutions that allow visualizing the temporal evolution of the systems under study, thus making possible a numerical and graphical conceptualization. Key words: Teaching mechanics, Preconceptions in Physics, Numerical methods and electronic tables. PACS: 45.10-b, 02.70-c, 01.40.Ha, 01.40.Fk, 01.40.gb, 01.50.H, 02.60.Cb.

Adicionalmente creemos que la metodología propuesta puede servir de ayuda a la remoción de preconceptos tan presentes en el aprendizaje de Física, a través de la visualización de la evolución temporal de los sistemas estudiados Nuestra propuesta está estructurada de la siguiente manera: primero presentamos algunas propiedades del método numérico utilizado, luego una justificación del por que usar Excel y finalmente mostramos algunos ejemplos en los cuales queda en evidencia la utilidad del uso de la estrategia EE en la enseñanza de la Física.

I. INTRODUCCIÓN Una crítica común que se hace a la enseñanza de la Física en la enseñanza media y en cursos básicos de la universidad, es que en ellos se tratan temas demasiado modelados, llenos de restricciones y alejados de los problemas reales que son los que más interesan a los alumnos. Esto forma en el estudiante la percepción que la Física es una disciplina alejada de las situaciones que se dan en el mundo que los rodea. ¿Por qué esta limitante? La respuesta está en la falta de herramientas matemáticas para el tratamiento analítico de problemas del mundo real. Problemas como el movimiento de un cuerpo en un medio viscoso o el estudio de oscilaciones amortiguadas y forzadas, exigen de matemáticas que no posee el alumno en los momentos aludidos por nuestro estudio. Nuestro trabajo postula que esta dificultad queda superada a través del uso de un sencillo método numérico como es el algoritmo de Euler el cual puede ser desarrollado fácilmente utilizando la planilla electrónica Excel.

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ISSN 1870-9095

II. EL ALGORITMO DE EULER Normalmente resolver un problema en Física significa encontrar la solución de una ecuación diferencial. La técnica estándar para la solución numérica de ecuaciones diferenciales implica la transformación de una ecuación diferencial en una ecuación de diferencias finitas. Esto se puede hacer mediante muchos métodos numéricos de los cuales hemos elegido el algoritmo de Euler fundamentalmente por su simplicidad aunque conscientes

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Ricardo Buzzo Garrao

de que no es el método más eficiente en cuanto al arrastre de errores de cálculo y redondeo. Fundamentalmente el algoritmo de Euler cambia el análisis de una curva (un problema difícil) en el análisis de muchas rectas (muchos problemas fáciles). Por eso es que este método es también llamado de pendiente constante [1]. Los problemas tratados en clases de cursos básicos de Física se modelan de tal forma que la aceleración presente sea constante. Sin embargo en situaciones reales, tendremos aceleraciones explícitamente dependientes del tiempo a(t), de la posición a(x), de la velocidad a(v) o en caso más general a(t,x,v). Cualquiera sea el caso, si aplicamos el algoritmo de Euler, el método será el siguiente: 1) Dividir el intervalo de tiempo estudiado en N partes lo que definirá lo que llamaremos paso de tiempo DT. Mientras más grande sea N la aproximación numérica se acercará más a la solución analítica del problema. 2) Identificar la estructura de la aceleración. 3) Considerando las condiciones iniciales establecer los valores iniciales para trabajar. 4) Avanzando en el tiempo de acuerdo al paso de tiempo DT usamos como algoritmo, (1) vactual = vanterior + aanterior * DT ,

IV. EULER Y EXCEL EN ACCIÓN A. Oscilador amortiguado forzado Un problema importante con muchas aplicaciones en la vida real es aquel de las vibraciones de un oscilador, que resultan cuando aplicamos una fuerza oscilatoria externa a una partícula sometida a una fuerza elástica. Sea F = F0 cos ω f t la fuerza oscilante aplicada, siendo

ω f su frecuencia angular. Suponiendo que la partícula está sometida a una fuerza elástica –kx y a una fuerza de amortiguamiento –bv, su ecuación de movimiento será: ma = −kx − bv + F0 cos ω f t ,

(3)

de donde (4) a = −(k / m) x − (b / m)v + ( F0 / m) cos ω f t . Se trata de determinar a partir de esta ecuación, x, v, a, en cualquier instante. Datos de entrada: k, m, b, F0, ω f , x0, v0, DT. Rutina: Tomar valores iniciales de v y x, y con ellos valorizar a. (5) vactual = vanterior + aanterior * DT ,

xactual = xanterior + vactual * DT , tactual = tanterior + DT .

(6) (7)

Repetir el proceso múltiples veces. La planilla adopta una apariencia como la mostrada a continuación:

(2) xactual = xanterior + vactual * DT . 5) Efectuar un proceso iterativo hasta llegar al final del intervalo de tiempo estudiado.

TABLA I. Oscilador amortiguado forzado

III. ¿POR QUÉ EXCEL? Hace ya bastante tiempo se ha planteado el uso de métodos numéricos en la enseñanza de la Física [1,2,3]. Sin embargo, estas propuestas contemplaban para el proceso iterativo, el uso de programación a través de un lenguaje computacional. Esto presenta como dificultad de aplicación, el hecho de que el profesor debe saber programar y el colegio o universidad donde se aplique debe tener el compilador correspondiente al lenguaje usado. También se puede desarrollar el algoritmo de Euler usando un software como MATHEMATICA, pero con la dificultad de alto costo de todos estos paquetes computacionales. En EXCEL, los procesos iterativos se pueden hacer con mucha facilidad utilizando la copia de procedimientos y el algebra básica necesaria para el algoritmo. Por lo tanto el profesor y los alumnos no necesitan saber programar para trabajar. Además, casi todo computador que usa sistema operativo WINDOWS, tiene el paquete utilitario OFFICE, con lo cual EXCEL resulta de muy fácil accesibilidad. De hecho en Chile a través del programa ENLACES del Ministerio de Educación, casi el 100% de los colegios tienen computadores con EXCEL.

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tiempo

Aceleración

Velocidad

Posición

0.00

0.40

6.00

0.00

0.20

-0.34

6.08

1.22

0.40

-1.08

6.01

2.42

0.60

-1.79

5.79

3.58

0.80

-2.46

5.44

4.66

1.00

-3.06

4.95

5.65

1.20

-3.59

4.33

6.52

1.40

-4.04

3.61

7.24

1.60

-4.39

2.81

7.80

1.80

-4.64

1.93

8.19

2.00

-4.77

1.00

8.39

2.20

-4.80

0.05

8.40

2.40

-4.71

-0.91

8.22

2.60

-4.51

-1.85

7.85

2.80

-4.21

-2.76

7.30

3.00

-3.81

-3.60

6.58

3.20

-3.33

-4.36

5.70

3.40

-2.77

-5.03

4.70

3.60

-2.15

-5.58

3.58

3.80

-1.48

-6.01

2.38

4.00

-0.78

-6.31

1.12

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Estrategia EE (Excel-Euler) en la enseñanza de la Física

Con ella se puede hacer análisis de datos o construir gráficos como los indicados:

vx , actual = vx , anterior + ax , anterior * DT ,

(12)

v y , actual = v y , anterior + a y , anterior * DT ,

(13)

xactual = xanterior + vx , actual * DT , yactual = yanterior + v y , actual * DT ,

(14)

x v/s t

t actual = t anterior + DT .

posición

10.00

(16)

Repetir el proceso múltiples veces.

5.00 0.00 -5.000.00

50.00

100.00

TABLA II. Proyectil con roce. Datos de entrada: v0=30[m/s], θ0=37º, b=0.1[Ns2/m2], g=10[m/s2], m=5[kg], DT=0.01[s]. t(s) ax(m/s2) vx(m/s) x(m) ay(m/s2) vy(m/s) y(m) 0.00 -14.38 23.96 0.00 -20.83 18.05 0.00 0.01 -14.17 23.82 0.24 -20.62 17.85 0.18 0.02 -13.98 23.67 0.47 -20.42 17.64 0.35 0.03 -13.79 23.53 0.71 -20.21 17.44 0.53 0.04 -13.60 23.40 0.94 -20.02 17.23 0.70 0.05 -13.41 23.26 1.18 -19.82 17.03 0.87 0.06 -13.23 23.13 1.41 -19.63 16.84 1.04 0.07 -13.05 22.99 1.64 -19.45 16.64 1.21 0.08 -12.88 22.86 1.87 -19.26 16.44 1.37 0.09 -12.71 22.73 2.09 -19.08 16.25 1.53 0.10 -12.54 22.61 2.32 -18.91 16.06 1.69 0.11 -12.37 22.48 2.54 -18.74 15.87 1.85 0.12 -12.21 22.36 2.77 -18.57 15.68 2.01 0.13 -12.05 22.24 2.99 -18.40 15.50 2.16 0.14 -11.90 22.12 3.21 -18.24 15.31 2.32 0.15 -11.75 22.00 3.43 -18.08 15.13 2.47 0.16 -11.60 21.88 3.65 -17.92 14.95 2.62 0.17 -11.45 21.76 3.87 -17.77 14.77 2.77 0.18 -11.30 21.65 4.08 -17.62 14.59 2.91 0.19 -11.16 21.54 4.30 -17.47 14.42 3.06 0.20 -11.02 21.42 4.51 -17.33 14.24 3.20 0.21 -10.89 21.31 4.73 -17.19 14.07 3.34 0.22 -10.75 21.20 4.94 -17.05 13.90 3.48 0.23 -10.62 21.10 5.15 -16.91 13.73 3.62 0.24 -10.49 20.99 5.36 -16.78 13.56 3.75 0.25 -10.36 20.89 5.57 -16.64 13.39 3.89

150.00

-10.00 tiempo

FIGURA 1. Oscilador amortiguado forzado. Gráfico posición v/s tiempo. v v/s t 10.00 velocidad

(15)

5.00 0.00 -5.000.00

50.00

100.00

150.00

-10.00 tiem po

FIGURA 2. Oscilador amortiguado forzado. Gráfico velocidad v/s tiempo.

Dadas las propiedades de Excel, se pueden tratar diferentes situaciones variando solo los datos de entrada, con recálculo automático. Además, al estudiar el sistema desde t=0, es posible visualizar la etapa transiente (fase que va desde t=0 hasta que se alcanza el régimen estacionario), cosa que no hacen la mayoría de los libros que solo abordan la etapa estacionaria. B. Proyectil con roce Este problema es el que muestra con mayor evidencia, la fortaleza de la metodología usada ya que si uno utiliza el modelo –bv2 para el roce del aire, la solución analítica de este problema es muy difícil, a cualquier nivel [4]. Sin embargo usando Euler el tratamiento del problema es el mismo que para otros. En este caso si en cualquier instante, la velocidad del proyectil forma un ángulo θ con la horizontal las ecuaciones de movimiento serán: max = −bv 2 cos θ ,

(8)

ma y = −mg − bv 2 senθ ,

(9)

proyectil con roce 15.00

10.00 5.00 0.00 0.00

y como vx = v cos θ y v y = vsenθ , la estructura de las componentes de la aceleración es: a x = − (b / m ) v v x ,

(10)

a y = − g − (b / m)vv y .

(11)

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

FIGURA 3. Proyectil con roce. Gráfico y v/s x.

Datos de entrada: m, b, v0, θ 0 , x0, y0,

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Ricardo Buzzo Garrao

neta es cero. 3) La mayoría no sabía como calcular la velocidad máxima. Consultando con otros colegas, respecto a una posible causa para que se repitiera con tanta insistencia la situación recién planteada, vimos que una posible explicación estaría en el hecho de que el método de balance de energía acostumbra a usar puntos extremos entre los cuales se hace el balance, sin considerar la evolución temporal de lo que sucede entre esos dos puntos. El estudiante en los niveles introductorios queda preparado en gran parte para solucionar un problema, cuando es capaz de formarse en la mente una película con la situación planteada, o sea cuando es capaz imaginarse una solución cualitativa del problema a través de la evolución temporal del sistema. Gran parte de los preconceptos en Física, se generan justamente en que el alumno imagina para un sistema, un desarrollo temporal diferente al real. De ahí la importancia de que el alumno sea capaz de conocer la solución que permita conocer el estado de un sistema instante a instante. Si aplicamos la estrategia Excel-Euler al problema planteado, la estructura de la aceleración será: (17) a = ( F / m ) − ( k / m) x − μ g , generando la siguiente tabla donde el alumno podrá ver la distancia máxima recorrida y la máxima velocidad alcanzada.

ax v/s t

0.00 -5.000.00

1.00

2.00

3.00

-10.00 -15.00 -20.00 tiem po

FIGURA 4. Proyectil con roce. Gráfico componente x de la aceleración v/s tiempo.

ay v/s t 0.00 -5.000.00 -10.00 -15.00 -20.00 -25.00

1.00

2.00

3.00

tiempo

FIGURA 5. Proyectil con roce. Gráfico componente y de la aceleración v/s tiempo.

III. ¿CÓMO PUEDE METODOLOGÍA A LA PRECONCEPTOS?

TABLA II. Oscilador amortiguado. Datos de entrada: F=90[N], m=2[kg], k=100[N/m], μ=0.3, x0=0[m], v0=0[m/s], DT=0.005[s]. t(s) a(m/s2) v(m/s) x(m) 0.000 42.060 0.000 0.000 0.005 42.007 0.210 0.001 0.010 41.902 0.420 0.003 0.015 41.745 0.630 0.006 0.020 41.535 0.839 0.010 0.025 41.274 1.046 0.016 0.030 40.961 1.253 0.022 0.035 40.596 1.457 0.029 0.040 40.181 1.660 0.038 0.045 39.716 1.861 0.047 0.050 39.201 2.060 0.057 0.055 38.637 2.256 0.068 0.060 38.025 2.449 0.081 0.065 37.365 2.639 0.094 0.070 36.658 2.826 0.108 0.075 35.906 3.009 0.123 0.080 35.109 3.189 0.139 0.085 34.268 3.364 0.156 0.090 33.384 3.536 0.174 0.095 32.458 3.703 0.192 0.100 31.492 3.865 0.211 0.105 30.486 4.022 0.231 0.110 29.442 4.175 0.252

AYUDAR ESTA REMOCIÓN DE

En el desarrollo del curso Física General Mecánica de prestación de servicio a los primeros años de las carreras de Ingeniería o sea un curso de nivel introductorio, se decidió realizar un problema en el cual estuviera presente una fuerza constante, una fuerza elástica y una fuerza de roce. El problema elegido fue el siguiente:

g k

m F

FIGURA 6. Masa sometida a una fuerza elástica, fuerza de roce y fuerza constante en la dirección horizontal.

m está en reposo y el resorte está inextendido. De pronto se aplica una fuerza F horizontal constante. Determinar la distancia máxima que recorre m y la máxima velocidad que alcanza. k=100 N/m, m=2 kg, μ=0.3, F=90 N. Realizada la pauta de corrección, nos pareció un problema tradicional, sin mayores problemas, pero al momento de ver las soluciones de los alumnos, surgían algunas ideas erradas coincidentes como las siguientes: 1) Existiendo una fuerza F constante sobre el cuerpo, éste no se detendrá jamás. 2) El cuerpo se detiene cuando la fuerza

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Generando los siguientes gráficos:

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Estrategia EE (Excel-Euler) en la enseñanza de la Física

IV. CONCLUSIÓN Basado en los buenos resultados obtenidos en la aplicación de esta metodología por varios años en la asignatura Informática Educativa aplicada a la Enseñanza de la Física, en la formación de profesores de Física en el Instituto de Física de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, como también en talleres de capacitación de profesores [5], creo que la estrategia EE es un real aporte para lograr aprendizaje en Física, permitiendo abordar problemas reales a cualquier nivel y ayudando a la remoción de preconceptos a través de la conceptualización numérica y gráfica.

8.000 6.000

velocidad

4.000 2.000 0.000 0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

-2.000 -4.000 -6.000 tiempo

v v/s T

FIGURA 7. Gráfico velocidad v/s tiempo.

REFERENCIAS x v/s t

[1] Gould, H. and Tobochnik, J. (Computer Simulation Methods, Addison-Wesley, 1988). [2] Buzzo, R., Caderno Catarinense de Ensino de Física 9, 143-1 46, (1992). [3] http://www.sc.ehu.es/sWEB/fisica/default.htm, Agosto 2007. [4] Parker, G., Projectile motion with air resistance quadratic in the speed, Am. J. Phys. 45, (1977). [5] Buzzo, R., Taller “Física con Microcomputador, una nueva forma de hacer y enseñar Física”, REFIX, Salta, Argentina, (1995).

1.800 1.600 1.400

posición

1.200 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

4.500

5.000

tiempo

FIGURA 8. Gráfico posición v/s tiempo.

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Six Lessons From The Physics Education Reform Effort Richard Hake Indiana University, Bloomington, Indiana 47405, USA, Emeritus. E-mail: [emailprotected] (Received 3 September; accepted 19 September 2007) Abstract In a 1998 meta-analysis I showed that “interactive engagement” (IE) courses could yield average normalized pre-toposttest gains in conceptual understanding of Newtonian mechanics that were about two standard deviations greater than traditional (T) courses. Then in 2002 I wrote a paper based on my meta-analysis entitled “Lessons From the Physics Education Reform Effort.” There, among other things, I offered six lessons on “interactive engagement” that I had hoped might stimulate more effective high school and university education. Today five years latter, it may be worthwhile to review and update those lessons with an eye to the present status of education reform in physics and other disciplines. Key words: Physics Education, evaluation, interactive engagement.

Resumen En un meta-análisis de 1998 mostré que los cursos de “compromiso interactivo” (IE) podrían producir una ganancia normalizada desde la pre-prueba hasta la –post prueba en el entendimiento conceptual de la mecánica Newtoniana que fueron alrededor de dos desviaciones estándar más grande que en los cursos tradicionales (T). Posteriormente en 2002 escribí un artículo basado en mi meta-análisis titulado “Lecciones desde el esfuerzo de reforma de Educación en Física”. Hoy, entre otras cosas, ofrezco seis lecciones de “compromiso interactivo” que espero pueda estimular más efectivamente la educación en la escuela preparatoria y en la universidad. Hoy cinco años después, podría ser importante el revisar y actualizar esas lecciones con un punto de vista del estado presente de la reforma educativa en física y en otras disciplinas.

Palabras clave: Física Educativa, evaluación, compromiso interactivo. PACS: 01.40.–d, 01.40.gb, 01.40.G-

ISSN 1870-9095

c) IE courses were operationally defined as those designed at least in part to promote conceptual understanding through continual interactive engagement of students in heads-on (always) and hands-on (usually) activities which yield immediate feedback through discussion with peers and/or instructors. d) T courses were operationally defined as those reported by instructors to make little or no use of IE methods, relying primarily on passive-student lectures, recipe labs, and algorithmic problem exams. In a later paper “Lessons from the physics education reform effort” [6] I offered fourteen lessons, six on interactive engagement and eight on implementation, that I hoped might stimulate more effective high-school and university education. Today, five years latter, it may be worthwhile to review, update, and add to those lessons with an eye to the present status of education reform in physics and other disciplines. In the present paper I shall discuss only the six lessons on interactive engagement.

I. INTRODUCTION In a meta-analysis titled “Interactive-engagement vs traditional methods: A six thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics courses” [1,2], I showed that interactive engagement (IE) courses could yield average normalized pre-to-posttest gains in conceptual understanding of Newtonian mechanics that were about two standard deviations greater than traditional (T) courses. Here: a) The average normalized gain is the average actual gain [ - ] divided by the maximum possible average gain [100% - ], where the angle brackets indicate the class averages. b) The conceptual tests of Newtonian Mechanics were either the Force Concept Inventory (FCI) [3] or its precursor the Mechanics Diagnostic (MD) [4,5]; in both cases developed by disciplinary experts through arduous qualitative and quantitative research, and widely recognized as valid and consistently reliable.

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These lessons are derived from my own interpretation of the physics education reform movement as it has developed over the past few decades, and are, therefore, somewhat subjective and incomplete. They are meant to stimulate discussion rather than present any definitive final analysis.

III. LESSON 3: High-quality standardized tests of the cognitive and affective impact of courses are essential to gauge the relative effectiveness of nontraditional educational methods. So great is the inertia of the educational establishment that three decades of physics education research [11] demonstrating the futility of the passive-student lecture in introductory courses was ignored until Halloun and Hestenes [4,5] devised the Mechanics Diagnostic (MD) test of conceptual understanding of Newtonian mechanics. Among many other virtues, the MD and the subsequent Force Concept Inventory (FCI) [3] tests have two major advantages: (a) the multiple-choice format facilitates relatively easy administration of the tests to thousands of students; (b) the questions probe for a conceptual understanding of the basic concepts of Newtonian mechanics in a way that is understandable to the novice who has never taken a physics course, yet at the same time are rigorous enough for the initiate. Thus the questions can be given as an introductory course pretest in pre/post tests to directly determine course-induced gain in conceptual understanding. In my opinion such direct gain measurements of higher-order student learning are far superior to the indirect (and therefore in my view problematic) gauges have been developed; e.g., Reformed Teaching Observation Protocol (RTOP), National Survey Of Student Engagement (NSSE), Student Assessment of Learning Gains (SALG), and Knowledge Surveys (KS’s) [37]. (For a discussion and references for all but the last see [38]).

I. LESSON 1: The use of Interactive Engagement (IE) strategies can increase the effectiveness of conceptually difficult courses well beyond that obtained by traditional (T) methods. Education research in chemistry [7]; engineering [8,9]; and introductory science education generally [10], although neither as extensive nor as systematic as that in physics [11,12,13,14,1,2,6,15,16,17,18,19,20,21,22] is consistent with the latter in suggesting that, in conceptually difficult areas, Interactive Engagement (IE) methods are more effective than traditional T passive-student methods in enhancing students' understanding. Furthermore, there is some preliminary evidence that learning in IE physics courses is substantially retained 1 to 3 years after the courses have ended [22a,23,24]. I see no reason to doubt that enhanced understanding and retention would result from greater use of IE methods in other science, and even non-science, areas, but substantive research on this issue is sorely needed – see e.g., “The Physics Education Reform Effort: A Possible Model for Higher Education?” [16]. Pre/post testing in biology [25,26]; and mathematics [27] is just getting started; while pre/post test results in astronomy [28] and geoscience [29], have not, at this early stage, shown clear-cut correlations between pre-to-posttest gain and pedagogical method, as has been shown in physics.

BUT WAIT! 1. Can multiple choice tests gauge higher level cognitive outcomes such as the conceptual understanding of Newtonian mechanics? Wilson & Bertenthal [39] think so, writing (p. 94): “Performance assessment is an approach that offers great potential for assessing complex thinking and learning abilities, but multiple choice items also have their strengths. For example, although many people recognize that multiplechoice items are an efficient and effective way of determining how well students have acquired basic content knowledge, many do not recognize that they can also be used to measure complex cognitive processes. For example, the Force Concept Inventory [3] (…) is an assessment that uses multiple-choice items to tap into higher-level cognitive processes”. 2. Considering the canonical arguments regarding the invalidity of pre/post testing evidence, should not all preto-post test gains cited above be viewed with grave suspicion? The dour appraisal of pre/post testing by Cronbach & Furby [40] has echoed down though the literature to present day texts on assessment such as that by Suskie [41]. In my opinion, such pre/post paranoia and its attendant rejection of pre/post testing in evaluation, as used so successfully in physics education reform

II. LESSON 2: The use of IE and/or high-tech methods, by themselves, does not ensure superior student learning. The data shown in Fig. 1 of “Interactive-engagement vs traditional methods: A six thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics courses” [1], indicate that seven of the IE courses (717 students) achieved 's close to those of the T courses. Five of those made extensive use of high-tech microcomputerbased labs [30,31]. Case histories of the seven low- courses [2] suggest that implementation problems occurred. It should be emphasized that, although high technology is, by itself, no panacea, it can be very advantageous when it promotes interactive engagement, as in: (a) computerized classroom communication systems (see, e.g., Bruff, D. [32] and Hake [33]. (b) properly implemented microcomputer-based labs [30]. (c) computer-implemented tutorials [34]; (e) Just-in-time teaching [35,36].

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[11,12,13,17,18,1,2,14,17,18,21] is one reason for the glacial progress of educational research [42] and reform [43]. Fortunately formative pre/post testing is gradually gaining a foothold in undergraduate astronomy, biology, chemistry, economics, geoscience, and engineering, in addition to physics. For references see Hake [44,45,46]. Regarding tests of affective impact: (a) administration of the Maryland Physics EXpectations (MPEX) survey to 1500 students in introductory calculus-based physics courses in six colleges and universities showed "a large gap between the expectations of experts and novices and a tendency for student expectations to deteriorate rather than improve as a result of introductory calculus-based physics" [47]. Here the term "expectations" is used to mean a combination of students' epistemological beliefs about learning and understanding physics and students' expectations about their physics course [48]. Elby [49] has recently conducted classes designed to help students develop more sophisticated beliefs about knowledge and learning as measured by MPEX. (b) The Arizona State University "Views About Sciences Survey" (VASS) [50], (available for physics, chemistry, biology, and mathematics at indicates that students have views about physics that (i) often diverge from physicists' views; (ii) can be grouped into four distinct profiles: expert, high transitional, low transitional, and folk; (iii) are similar in college and high school; and (iv) correlate significantly with normalized gain g on the FCI. It may well be that students' attitudes and understanding of science and education are irreversibly imprinted in the early years (but see [49]). If so, corrective measures await a badly needed shift of K–12 education away from rote memorization and drill (often encouraged by statemandated standardized tests) to the enhancement of understanding and critical thinking [50a]. (c) The “Colorado Learning Attitudes about Science Survey” [51], according to the abstract: “(…) serves as the foundation for an extensive study of how student beliefs impact and are impacted by their educational experiences. For example, this survey measures the following: that most teaching practices cause substantial drops in student scores; that a student’s likelihood of becoming a physics major correlates with their “Personal Interest” score; and that, for a majority of student populations, women’s scores in some categories, including “Personal Interest” and “Real World Connections,” are significantly different from men’s scores”.

(DE's), and of the same quality and nature as traditional science/engineering R&D, is needed to develop potentially effective educational methods within each discipline. But the DE's should take advantage of the insights of (a) DE's doing education R&D in other disciplines, (b) cognitive scientists, (c) faculty and graduates of education schools, and (d) classroom teachers. Redish [12] has marshaled the arguments for the involvement of physicists in physics departments, not just faculty of education schools, in physics education research. Similar arguments may apply to other disciplines. For physics, Redish gave these arguments. (a) physicists have good access to physics courses and students on which to test new curricula; (b) physicists and their departments directly benefit from physics education research; (c) education schools have limited funds for disciplinary education research; and (d) understanding what's going on in physics classes requires deep rethinking of physics and the cognitive psychology of understanding physics. One might add that the researchers themselves must be excellent physics teachers with both content and "pedagogical content" knowledge [51,52] of a depth unlikely to be found among non-physicists. The education of disciplinary experts in education research requires PhD programs at least as rigorous as those for experts in traditional research. The programs should include, in addition to the standard disciplinary graduate courses, some exposure to: the history and philosophy of education, computer science, statistics, political science, social science, economics, engineering, and, most importantly, cognitive science (i.e., philosophy, psychology, artificial intelligence, linguistics, anthropology, and neuroscience). In my opinion, all scientific disciplines should consider offering PhD programs in education research. As far as I know, physics leads the way in preparing future educational researchers and in researching undergraduate student learning – see e.g. Stockstad [53]. For links to over 50 U.S. Physics Education Research (PER) groups (many of them offering Ph.D.’s), over 200 PER papers published in the American Journal of Physics since 1972, and tests of cognitive and affective conditions see, respectively: Meltzer [54,55], and NCSU 2005 [56]. The very active PER discussion list PhysLrnR logged over 1100 posts in 2006. To access the archives of PhysLnR one needs to subscribe, but that takes only a few minutes by clicking on and then clicking on "Join or leave the list (or change settings)." If you're busy, then subscribe using the "NOMAIL" option under "Miscellaneous." Then, as a subscriber, you may access the archives and/or post messages at any time, while receiving NO MAIL from the list!

IV. LESSON 4: Education Research and Development (R&D) by disciplinary experts Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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inquiry such as experimental design, control of variables dimensional analysis, order-of-magnitude estimation, thought experiments, hypothetical reasoning, graphing, and error analysis; (iv) ability to articulate their knowledge and learning processes; (v) ability to collaborate and work in groups; (vi) communication skills; (vii) ability to solve real-world problems; (viii) understanding of the history of science and the relationship of science to society and other disciplines; (ix) understanding of, or at least appreciation for, "modern" physics; (x) ability to participate in authentic research. In my opinion, more support should be given by universities, foundations, and governments to the development of a science of education spearheaded by disciplinary education researchers working in concert with cognitive scientists and education specialists. In the words of cognitive psychologists Anderson et al. [72], “The time has come to abandon philosophies of education and turn to a Science of Education (...) If progress is to be made to a more scientific approach, traditional philosophies (…) (such as radical constructivism) (…) will be found to be like the doctrines of folk medicine. They contain some elements of truth and some elements of misinformation (…) only when a science of education develops that sorts truth from fancy—as it is beginning to develop now—will dramatic improvements in educational practice be seen”. However, it should be emphasized that the development of better strategies for the enhancement of student learning through a Science of Education will not improve the educational system unless (a) university and K–12 teachers are educated to effectively implement those strategies, and (b) universities start to think of education in terms of student learning rather than the delivery of instruction - see e.g., “From Teaching to Learning: A New Paradigm for Undergraduate Education” [73], and “The Physics Education Reform Effort: A Possible Model for Higher Education?” [16].

V. LESSON 5: The development of effective educational methods within each discipline requires a redesign process of continuous longterm classroom use, feedback, assessment, research analysis, and revision. Wilson and Daviss [57] suggest that the "redesign process," used so successfully to advance technology in aviation, railroads, automobiles, and computers can be adapted to K–12 education reform through "System Redesign Schools." Redesign processes in the reform of introductory undergraduate physics education have been undertaken and described by McDermott [58] and by Hake [1]. In my opinion, "redesign" at both the K–12 and undergraduate levels can be greatly assisted by the promising "Scholarship of Teaching & Learning" movement - see e.g., Carnegie Academy [59] and IJ-SOTL [60].

VI. LESSON 6: Although non-traditional IE methods appear to be much more effective than T methods, there is need for more research to develop better strategies for enhancing student learning. On a test as elemental as the FCI, it would seem that reasonably effective courses should yield normalized gains 's above 0.8, but thus far very few above 0.7 have, to my knowledge, been reported. This and the poor showing on the pre/post MPEX test of student understanding of the nature of science and education [47] indicate that more work needs to be done to improve IE methods. It would seem that understanding of science might be improved by: (a) students' apprenticeship research experiences [61,62]; (b) epistemologically oriented teachers, materials, and class activities [48,49,63,64,65]; (c) enrollment in courses featuring interactive engagement among students and disciplinary experts from different fields, all in the same classroom at the same time [66]; (d) further investigation of the connection between critical thinking ability and normalized gain on conceptual tests (see e.g., Coletta & Phillips [67]; Coletta, Phillips, & Steinert [68,69]); (e) better communication between educational researchers and cognitive scientists – see e.g. “Cognitive Science and Physics Education Research: 'What we’ve got here is a failure to communicate'” [70]. (f) multifaceted assessments – see e.g. Etkina et al. [71] - to gauge the effectiveness of introductory courses in promoting students’ capacities [2] in areas other than conceptual understanding: e.g., students’: (i) satisfaction with and interest in physics; (ii) understanding of the nature, methods, and limitations of science; (iii) understanding of the processes of scientific Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

ACKNOWLEDGEMENT I thank (a) Josip Slisko of the University of Puebla, Mexico, for informing me of the new journal LatinAmerican Journal of Physics Education (LAJPE) , and suggesting that I contribute this article; and (b) LAJPE editor César Mora for his helpfulness.

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Six Lessons From The Physics Education Reform

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Tutoriales para Física Introductoria: Una experiencia exitosa de Aprendizaje Activo de la Física Julio Benegas Departamento de Física/IMASL, Fac. Cs. Fís. Mat. y Naturales, Univ. Nacional de San Luis/CONICET, Argentina E-mail: [emailprotected] (Recibido el 30 de Julio de 2007; aceptado el 17 de Septiembre de 2007)

Resumen Se relatan dos experiencias locales de aplicación y desarrollo de metodologías de enseñanza activa en cursos de física del 11º año de instrucción. La metodología de aprendizaje activo utilizada en ambos casos es Tutoriales para Física Introductoria, desarrollado por Lillian McDermott y su Physics Education Group en la Universidad de Washington en Seattle, USA. Esta metodología, una de las muy pocas que hasta el momento han sido traducidas al español [1]. Está basada en un extenso trabajo desarrollado en las últimas dos décadas sobre las dificultades características de aprendizaje de los diversos temas de la física general y el consecuente desarrollo de actividades (Tutoriales). La evaluación de la instrucción se ha realizado mediante la aplicación de diagnósticos de respuestas múltiples al inicio (pre-test) y al final de la instrucción (post-test). Este procedimiento permite valorar el efecto del uso de Tutoriales, y su comparación con el resultado de otras estrategias didácticas, tanto locales como aquellas realizadas en otros sistemas educativos. Se muestran aquí los excelentes resultados de la aplicación de Tutoriales, aún comparando con poblaciones de formación superior y/o de sistemas educativos más desarrollados. Se destaca que el mejor aprendizaje se logra en general en toda la clase, independientemente del sexo y nivel de rendimiento.

Palabras clave: Errores conceptuales sobre fuerza, Física Educativa, enseñanza de la mecánica, métodos y estrategias de aprendizaje.

Abstract In this work are reported two experiences of the application of Tutorials in Introductory Physics, developed in the University of Washington at Seattle by Prof. Lillian McDermott and the Physics Education Group. This methodology, the first translated to Spanish [1] it is based on the results of more than 20 years of Physics Education Research (PER) on the main learning difficulties of different subjects of basic physics and the corresponding curriculum development. The evaluation has been realized by comparison of the performance of groups subjected to different teaching approaches. The measuring instruments have been in all cases single response, multiple choice test also developed upon the results of PER. Excellent results are obtained in both applications, even when performance is compared with student populations of more demanding and advanced educational systems. It is noted that higher learning’s are obtained in the whole class, independently of student performance and sex. Key words: Misconceptions in force, Physics Education, teaching of mechanics, methods and strategies of learning. PACS: 01.30.Os, 01.40.–d, 45.20.d-, 01.40gb

ISSN 1870-9095

Universidad de Alcalá, se presentaban al examen final ordinario un 66% de los matriculados, aprobando un 51% de los presentados, es decir, una tercera parte de los matriculados. Después de las dos convocatorias de ese año seguía quedando pendiente un 55% de los alumnos matriculados. En la asignatura de Física General de la licenciatura en CC. Químicas de la Universidad de Burgos, se presentaron al examen final ordinario el 48% de los matriculados, aprobando un 39% de los presentados, es decir, un 19% de los matriculados. En este caso, después de las dos convocatorias de ese curso quedaba pendiente un 70% de los alumnos matriculados. Incluso para los

I. INTRODUCCIÓN La realidad socioeducativa en muchos sistemas educativos, incluyendo el español y los de diversos países latinoamericanos, indica que existe un muy bajo nivel de logro de los estudiantes de ciencias que ingresan en la universidad, tanto en Matemáticas como en otras disciplinas científicas como la Física. Por ejemplo en un estudio realizado durante el curso 1996-97 en las universidades de Alcalá y de Burgos [2], se encontró que en la asignatura de Física de los Procesos Biológicos del primer curso de la licenciatura en CC. Biológicas de la Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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alumnos de Física Médica de la licenciatura en Medicina de la Universidad de Alcalá que, de acuerdo con la calificación de acceso a la universidad, tienen de los más altos rendimientos académicos, el porcentaje de alumnos pendientes de aprobar la asignatura después de las dos convocatorias del curso 1996/1997, era del 36% sobre los alumnos matriculados. En los países latinoamericanos, tanto los escasos estudios sistemáticos [3] como la experiencia cotidiana alertan que la situación es similar, manteniéndose, cuando no empeorando el rendimiento de los alumnos ingresantes a la universidad, como tan a menudo lo reflejan los medios informativos [4]. Esta realidad es, para muchos de nosotros, paradójica, puesto que la comprensión de los problemas de enseñanza/aprendizaje de la Física en el nivel universitario ha experimentado en los últimos 25 años un desarrollo muy importante. En este período se han logrado enormes avances en la comprensión de las dificultades de aprendizaje de los temas principales de la llamada “Física Básica” y en el desarrollo de currículo adecuado para superar dichas dificultades [5,6,7,8,9,10]. Los resultados de los estudios sobre concepciones alternativas [11,12] han sido tomados como base para el desarrollo de metodologías de enseñanza activa en la universidad y para la confección de diagnósticos especializados (una muy buena descripción se puede encontrar en Redish [13]). Esta aproximación didáctica, denominada en general como enseñanza para el aprendizaje activo (active learning), ha demostrado en numerosas investigaciones y aplicaciones experimentales ser más efectiva que la instrucción tradicional [9,10,14]. A pesar de estos resultados, la experiencia cotidiana en los distintas instituciones y sistemas educativos nos dice que la práctica real de nuestras aulas en la escuela secundaria y en el nivel universitario básico ha cambiado poco o nada [15]. En España, por ejemplo, el informe del Plan Nacional de Evaluación de las Universidades indica que la clase magistral sigue siendo la predominante, aun cuando esta metodología ha sido probada como muy ineficiente para producir aprendizajes significativos. Es claro que en los países latinoamericanos la situación es similar. Los excelentes resultados de la investigación en aprendizaje de la física, con el consecuente desarrollo de muy exitosas estrategias de enseñanza, son fruto de diversas circunstancias que rodean la educación de las ciencias en la actualidad y que nacen del paradigma de “física para todos” (una parte de “ciencia para todos”) que reclama una sociedad basada en el desarrollo tecnológico. En primer lugar debió considerarse que las clases de física debían dejar de ser para unos pocos “elegidos” (es decir aquella pequeña fracción de la población con intereses y aptitudes especiales para la física) para convertirse en clases multitudinarias, donde la enorme mayoría de estudiantes no tienen a física como eje de sus carreras. Después de experiencias con una importante motivación y asignación de recursos humanos y materiales, que no fueron exitosas en las décadas del 60 y del 70, finalmente alrededor de 1980 se comenzó con una aproximación diferente, poniendo esta vez al estudiante y a su proceso de Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

aprendizaje en el centro del proceso de enseñanza. Se comprendió que el estudiante debía construir su propio proceso de aprendizaje, partiendo de un estado inicial de conocimientos proveniente de sus experiencias de vida, el cual debe ser modificado por la instrucción para llegar al estado final deseado de comprensión de la disciplina. Comenzaron en ese tiempo los estudios de dificultades características de aprendizaje, sobre todo lo que se entiende como concepciones alternativas, o concepciones de sentido común [9]. Por estas entendemos aquellas explicaciones que se tienen sobre cómo funcionan las cosas en el mundo físico (o real), pero que se contraponen a las explicaciones actualmente aceptadas como correctas por los expertos de la disciplina. Algunos estudios muestran que estas concepciones alternativas constituyen una red de creencias, verdaderas teorías alternativas, que se contraponen a las estructuras científicas aceptadas, y que por lo tanto se constituyen en importantes barreras u obstáculos para el aprendizaje. McDermott [15] y DiSessa [16], entre otros, encuentran que estas estructuras de conocimiento alternativas se conforman con débiles patrones de asociación, formando estructuras difusas, a veces inclusive contradictorias entre sí y dependientes del contexto de aplicación. Para poder atacar este problema desde una base científica, a partir del año 1980 se han llevado a cabo estudios de concepciones alternativas y de dificultades características en la mayoría de los temas importantes de la física [9]. Los resultados de estos estudios han sido tomados como base para el desarrollo de metodologías de enseñanza activa y para la confección de diagnósticos especializados [12]. En este punto resulta importante precisar que se entiende por enseñanza tradicional y por enseñanza activa. La enseñanza tradicional de la física (y de otras ciencias) supone esencialmente que el alumno por repetición aprenderá cada uno de los conceptos de la disciplina y formará con ellos la estructura conceptual de la ciencia. La instrucción es generalmente deductiva, con el docente irradiando conocimientos, mientras que el alumno debe recibirlos y asimilarlos, en una actitud esencialmente pasiva. En su reconocido libro sobre enseñanza de la física, Arons [17] escribió: “…debo puntualizar ahora la siguiente verdad no deseada: tanto como rechacemos las implicancias, la investigación (en aprendizaje de la física) está mostrando que la simple exposición de ideas abstractas y desarrollos matemáticos (tan atractivos y lúcidos como podamos hacerlos) a oyentes pasivos conduce a resultados patéticamente bajos de aprendizaje y comprensión, excepto en aquel pequeño porcentaje de estudiantes especialmente dotados para la disciplina...”. Este comentario ha sido comprobado en varias ocasiones por investigadores de la educación de la física. Al respecto McDermott [8] expone seis generalizaciones en enseñanza–aprendizaje que sintetizan los resultados de estas investigaciones: • La facilidad para resolver problemas cuantitativos estándares no es un criterio adecuado para evaluar el entendimiento práctico. 33

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• Frecuentemente las conexiones entre conceptos, representaciones formales y el mundo real son inexistentes después de instrucción tradicional. • Ciertas concepciones erróneas no son superadas con una instrucción tradicional. El acceder a niveles más avanzados de instrucción no necesariamente incrementa en nivel de entendimiento de los conceptos básicos. • La instrucción tradicional no promueve una estructura conceptual coherente. • El incremento en la capacidad de análisis y razonamiento no es el resultado de una instrucción tradicional. • Para la mayoría de los estudiantes la enseñanza basada en la exposición de contenidos es un modo ineficiente de instrucción. Para superar estos problemas los métodos de enseñanza activa ponen énfasis en el rol que el alumno debe tener en el proceso de construcción de su propio conocimiento. En esta aproximación didáctica el docente se transforma en un guía que ofrece al alumno material científicamente desarrollado para que resuelva sus dificultades de aprendizaje. Esto se hace teniendo en cuenta su situación inicial de conocimientos y diseñando, a partir de allí, un camino por el cual resuelva las inconsistencias y contradicciones entre sus creencias previas y el marco conceptual aceptado por los expertos de la disciplina. En consonancia con las seis generalizaciones expuestas más arriba respecto del aprendizaje, McDermott [8] resume las siguientes generalizaciones (basadas también en la investigación en educación de la física) que debieran guiar el proceso de enseñanza: • Para evaluar el aprendizaje son esenciales preguntas que requieran de un razonamiento cualitativo y de explicaciones verbales. Este tipo de preguntas constituyen a su vez una estrategia efectiva para el aprendizaje. • Los estudiantes necesitan una práctica sostenida para interpretar el formalismo físico y relacionarlo con el mundo real. • Dificultades conceptuales persistentes deben ser explícitamente atacadas en múltiples contextos. • Los estudiantes deben participar en el proceso de construcción de modelos cualitativos y en la aplicación de estos modelos para predecir y explicar los fenómenos del mundo real. • El razonamiento científico debe ser expresamente cultivado. • Los estudiantes deben estar intelectualmente activos en el proceso de aprendizaje para desarrollar una comprensión funcional. Estas conclusiones y principios de acción se enmarcan en una visión de la investigación de aprendizaje y enseñanza de la física que McDermott [8] define como ciencia empírica aplicada. Redish [13], en su disertación de aceptación del Premio Millikan, otorgado por la Asociación Americana de Profesores de Física (AAPT) por “sus notables y creativas contribuciones a la enseñanza de la física”, propone que para seguir avanzando las investigaciones deben tener una base teórica que enmarque Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

el trabajo de los distintos grupos y permita, por acumulación, la existencia de una reconocida base de conocimiento científico colectivo que caracterice a la enseñanza de la física como una ciencia y no como un arte. En su propuesta estos principios son: 1. El principio constructivista. Los individuos construyen su conocimiento procesando la información que ellos reciben construyendo patrones de asociación con sus conocimientos previos. 2. El principio contextual. Esta construcción individual depende del contexto, incluyendo los estados mentales del individuo. 3. El principio de cambio. Producir un cambio significativo en un patrón bien establecido es muy difícil, pero puede ser facilitado por una variedad de mecanismos o metodologías conocidas. 4. El principio de la función de distribución. Los individuos muestran una limitada, pero significativa variación en sus estilos de aprendizajes a los largo de un número de dimensiones. 5. El principio de aprendizaje social. Para la mayoría de los individuos el aprendizaje es más efectivo a través de las interacciones sociales. El último principio está basado en que la interacción entre pares actúa como herramienta de enorme valor pedagógico. Al discutir con su compañero más cercano y/o en pequeños grupos, los estudiantes se ven forzados a emitir sus razonamientos, los cuales son analizados críticamente por sus compañeros, y si la explicación no es clara y aceptada, generalmente es reelaborada socialmente hasta lograr el consenso necesario. Controlado por el profesor este mecanismo se ha probado de una enorme riqueza. Estos cinco principios, basados en el constructivismo y en los trabajos de Vigotsky sobre la influencia del medio en el aprendizaje, son particularmente difíciles de aceptar por la comunidad de físicos profesionales, que fueron educados de una manera tradicional y que conforman esa ínfima minoría de la población que está especialmente dotada para el estudio de la disciplina. Para este selecto grupo se ha demostrado, además, que es más conveniente (y disfrutan de) el aprendizaje individual que el colectivo. Las experiencias y el marco teórico descrito más arriba deberían ser básicos a la hora de programar la enseñanza de un curso de física. No solamente guían en la selección de temas y actividades, sino también que fijan el marco y las condiciones en que dos o más metodologías específicas pueden ser utilizadas complementaria y cooperativamente en un dado curso. Bajo estas premisas de la aprendizaje activo se están llevando adelante modificaciones curriculares y metodológicas tanto a nivel universitario como de escuela secundaria (Preparatoria). Describiremos aquí dos experiencias de aplicación de la metodología Tutoriales para Física Introductoria [1] en la escuela secundaria. El denominador común de estas experiencias es que se realizan en un ambiente didáctico muy controlado, en lo que pretendemos sea un círculo virtuoso de programación didáctica, instrumentación y evaluación.

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II. TUTORIALES PARA FÍSICA INTRODUCTORIA: UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA FLEXIBLE PARA EL APRENDIZAJE ACTIVO

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La metodología de Tutoriales para Física Introductoria ha sido desarrollada por el Grupo de Educación de la Física que dirige Lillian McDermott para los cursos introductorios de física que se dictan en la Universidad de Washington en Seattle (USA). Está basada en un extenso trabajo desarrollado en las últimas dos décadas sobre las dificultades características de aprendizaje de los diversos temas de la física general y el consecuente desarrollo de actividades (Tutoriales) para ayudar a los alumnos a vencer los distintos obstáculos de aprendizaje. Han sido el fruto de un enorme trabajo de investigación sobre las dificultades características de aprendizaje de cada uno de los temas, y del desarrollo científico de material curricular para la superación de estas dificultades [15]. Tutoriales están diseñados para desarrollar la comprensión conceptual de los temas de física básica, así como el razonamiento cualitativo y utilizan como estrategia de aprendizaje el conflicto cognitivo, tendiendo puentes entre lo que el alumno cree o sabe y el conocimiento científico que se quiere incorporar. La estrategia ha sido descripta por McDermott como de obtener información/confrontarla con lo que se cree/resolver discrepancias (elicit/confront/resolve). Es una de las metodologías de aprendizaje activo más flexible, en el sentido que puede ser utilizada tanto para la introducción de conceptos, en reemplazo o reforzando la clase "teórica", o en algunos casos como práctico de laboratorio, así como una actividad de aprendizaje independiente y complementaria. Esto, sumado a casi ausencia de sofisticado material de laboratorio, lo hace adaptable a prácticamente cualquier circunstancia de instrucción. La metodología didáctica consta de unas hojas de trabajo (el Tutorial propiamente dicho), de problemas para la casa (Ejercicios Complementarios) y de un Pre-test. El Tutorial consiste en una guía de actividades que los estudiantes, trabajando en grupos de 3 o 4 alumnos, desarrollan para construir los conceptos, partiendo de nociones que no entran en conflicto con sus concepciones previas. Las conclusiones a que son guiados sí pueden ser conflictivas para dichas preconcepciones, pero de este conflicto, discutido con sus pares en el grupo, y eventualmente con el docente, surge el conocimiento científico del tema tratado.

•

B. Ejemplos de aplicación de tutoriales en la escuela secundaria B.1 La enseñanza de la mecánica clásica Como ejemplos de aplicación nos referiremos a dos experiencias realizadas en distintas escuelas secundarias de San Luis, Argentina, en el 11º año de instrucción (alumnos de 16/17 anos). La primera es de implementación en el curso de mecánica clásica. En este caso el concepto fundamental a comprender es el de fuerza, y las leyes que relacionan las fuerzas sobre un objeto y el movimiento resultante, incluyendo los conceptos de energía mecánica y de cantidad de movimiento, temas en los cuales existe una amplia literatura sobre las concepciones previas y dificultades de aprendizaje con que los estudiantes arriban al aula. Para una racional y efectiva planificación didáctica es siempre necesario que el docente conozca estas preconcepciones, su distribución y la importancia relativa de las mismas en la población estudiantil. En este caso es muy conveniente la utilización de diagnósticos surgidos de la investigación en enseñanza de la física, como el Force Concept Inventory (FCI), propuesto por Hestenes y colaboradores [12]. El FCI es un diagnóstico de 30 preguntas que propone como distractores un total de 28 preconceptos no newtonianos distribuidos entre seis dimensiones propuestas para el concepto fuerza. El análisis de las opciones incorrectas de cada una de las 30 preguntas brinda entonces una detallada distribución de los preconceptos en la población estudiantil, de su importancia absoluta y también de su importancia relativa. El diagnóstico fue administrado al comienzo del año escolar (pre-test) de manera que sus resultados pudieran ser utilizados por el docente para programar las diversas actividades estudiantiles. Los resultados pueden resumirse diciendo que en la población analizada las principales dificultades a ser atacadas por la instrucción se refieren a:

A. Secuencia didáctica de tutoriales La aplicación de Tutoriales requiere de la realización de las siguientes actividades: • la aplicación de un “pre- test de Tutorial”, que los alumnos responden en una clase previa en alrededor de 10 a 15 minutos. Consiste normalmente de 2 o 3 preguntas cualitativas sobre el concepto(s) del Tutorial y tienen un doble objetivo: alertar a los estudiantes sobre los temas a estudiar, y proveer a los docentes de Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

información sobre los principales problemas de aprendizaje que los alumnos tienen sobre ese tema. Reunión de los docentes para analizar los resultados de los pre-tests y REALIZAR el propio Tutorial, en la misma forma que lo harán luego los alumnos. Los docentes, además de familiarizarse con el material, pueden identificar las preguntas con que guiarán, de manera socrática, la actividad de los alumnos. Este paso es esencial para el éxito de la estrategia didáctica. Los estudiantes realizan el Tutorial en clase, trabajando en pequeños grupos cooperativos. Toma entre 50 minutos (Seattle y otras universidades) hasta 2 horas (San Luis, universidad y escuela secundaria). Ejercicios complementarios, para realizar luego de la clase en forma individual, para afianzar los conceptos trabajados en el Tutorial. Es conveniente que tengan algún tipo de evaluación, y que sus resultados sean puestos a disposición de los alumnos para garantizar rol en el aprendizaje. En la evaluación del curso debería incluirse al menos un problema del tipo de Tutorial.

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La noción de fuerza como un ímpetu asociado al movimiento. Esta idea alternativa al concepto newtoniano de fuerza está fuertemente arraigado en los alumnos, adoptando distintas formas de acuerdo a la situación física presentada. La idea de que objetos más pesados o más activos ejercen fuerzas dominantes cuando interaccionan con otros, que seguramente impondrá enorme resistencia a la asimilación del principio de acción y reacción. Las diversas formas de concatenación de influencias, que interfieren con el correcto uso del principio de superposición de fuerzas enunciado en la 2da. Ley de Newton. Las persistentes dificultades (a pesar de la instrucción del año anterior) para distinguir entre las variables cinemáticas, particularmente velocidad y aceleración, fundamentales para lograr un correcto esquema newtoniano de pensamiento. Para afrontar estos problemas, el docente programó actividades basadas en metodologías de enseñanza surgidas en la última década de la investigación en enseñanza de la física. Estas actividades tuvieron como objetivo que los estudiantes confrontaran sus concepciones alternativas con el resultado de diversas experiencias, discutieran las mismas con sus compañeros (eventualmente con el docente) y resolvieran las inconsistencias. Se trató de seguir las generalizaciones enunciadas por McDermott [8], en el marco de los principios constructivistas y de aprendizaje grupal de Redish [13] citados al principio. En la programación didáctica de este curso, además de los “Tutoriales para Física Introductoria”, se utilizaron los Problemas Ricos en Contexto, desarrollados en la Universidad de Minnesotta por Heller y Heller [13]. Se tuvo en cuenta en esta elección que la variabilidad de las respuestas frente al contexto requiere que la instrucción cuente con actividades en las que los alumnos puedan ver y vivenciar situaciones reales donde intervengan los conceptos objetos del aprendizaje. Los alumnos trabajaron en pequeños grupos cooperativos, tanto en el laboratorio como en resolución de problemas. Los resultados obtenidos en el primer año de implementación se muestran en la Figura 2 donde se compara, para las 30 preguntas del FCI, el rendimiento post instrucción de los alumnos de secundaria con los de un curso de física para alumnos de ingeniería, en que se cubrió casi el mismo temario de mecánica clásica. Se observa que en casi todas las preguntas los alumnos de la escuela tuvieron mejor desempeño que los de 1er. año de la universidad, sobre todo si tenemos en cuenta que en la población de la escuela el post test consignado en la Figura 1 lo tomaron todos los alumnos, mientras que en el curso universitario lo tomaron solo los alumnos que tuvieron éxito en la materia (alrededor de la mitad de los que comenzaron a cursar y que tomaron el mismo diagnóstico como pretest). Las dos últimas barras a la derecha de la figura indican los valores medios de todo el diagnóstico para cada población. El promedio de los alumnos de ingeniería fue de 39%, mientras que el desempeño promedio global de Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

los alumnos de 2do. Año Polimodal fue de 49%, es decir alrededor de un 25% superior a los alumnos de la universidad.

FIGURA 1. Resultados post intrucción del FCI. Las barras oscuras llenas representan el rendimiento (para cada una de las 30 preguntas) de los alumnos de 2do. Año Polimodal. Las barras claras representan el rendimiento de los alumnos universitarios de un curso de ingeniería de 1er. año de la UNSL. Las dos barras últimas a la derecha (ítem 31) indican el promedio para cada población del total del diagnóstico.

B.2 La enseñanza de circuitos eléctricos simples Este trabajo consistió en una evaluación del aprendizaje logrado en el tema de circuitos eléctricos simples mediante la aplicación, también en el nivel 11º de enseñanza, de los “Tutoriales" “Corriente y resistencia” y “Diferencia de Potencial”, Este rendimiento fue comparado con el logrado por la instrucción tradicional que se venía desarrollando hasta ahora. Ambas instrucciones, tanto la Experimental como la de Tradicional, han cubierto el mismo temario y en el mismo tiempo de instrucción. Los resultados después de la instrucción [19] han mostrado una importante diferencia en aprendizaje entre los alumnos que siguieron la enseñanza mediante Tutoriales, respecto a aquellos que siguieron la estrategia tradicional de instrucción. En esta experiencia nos propusimos además evaluar el conocimiento conceptual remanente un año después de la instrucción. Esto nos permitiría observar si realmente hubo un aprendizaje perdurable y no la simple memorización de algún algoritmo o procedimiento que luego se diluye en el tiempo [19]. Para ello se analizaron los resultados de la aplicación del test de respuestas múltiples DIRECT [20] en dos colegios donde se realizó la experiencia: uno es una escuela estatal mixta, mientras que el otro colegio es privado y solo de mujeres. Para comparación utilizaremos los resultados alcanzados por la instrucción tradicional, llevada a cabo en otra división del mismo colegio estatal. El instrumento de medición utilizado, “Determining Interpreting Resistive Electric Circuits Concepts Test” (DIRECT), ha sido desarrollado en la Universidad de North Carolina por el grupo de investigación en enseñanza de la Física liderado por el Prof. R. Beichner [20]. 36

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DIRECT es un diagnóstico de 29 preguntas de respuestas de opción múltiple. Cada pregunta tiene 5 opciones de respuesta, con distractores basados en lo que la investigación en concepciones previas de circuitos eléctricos ha mostrado que son las dificultades de aprendizaje más importantes en este tema. En la Figura 2 se puede apreciar que en la población de control la instrucción no ha provocado una modificación de los conocimientos conceptuales en la gran mayoría de los estudiantes. Observamos que en promedio, esta población ha vuelto al estado inicial. Sólo un pequeño número de alumnos (menos del 10%) de la población de control mejoró su rendimiento de manera significativa, mientras que el resto mejoró poco su rendimiento o permaneció de manera similar a lo obtenido antes de la instrucción. Notamos que también alrededor del 10% disminuye su rendimiento de manera notable. En contraposición, en la Figura 3 se puede observar una mejora sustancial en el conocimiento conceptual de la gran mayoría de los alumnos.

Para remarcar estas diferencias en el aprendizaje conceptual de los alumnos de distinto rendimiento se ha construido la Tabla I que muestra los cuartiles según la ganancia (Post-test II–Pre-test) por alumno en cada una de estas poblaciones. TABLA I. Cuartiles de ganancia porcentual de cada población después de la instrucción. Ganancia %

Población A

Población B

Población C

> 30 15 - 30 0 - 15 0, s = ⎨ . (16) ξ ⎩−1 u Thus, the Killing equation (14) guarantees that ua is expansion-less and shear-free, i.e.

(11)

u( a ;b ) (δ m − u u m )(δ n − u u n ) = 0, a

III. PHYSICAL INTERPRETATION LANCZOS POTENTIAL

(17)

and by means of the hyper surface orthogonallity condition of ξa we have u[ a ;b uc ] = 0, (18)

therefore,

ua ;b = saa ub ,

The role of Lanczos potential Labc with respect to the Weyl tensor Wabcd is the same that plays the vector potential Aa for the Maxwell tensor Fab. Then, in the same

Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

(19)

where we have defined the first curvature vector of the group of congruence (also called and known as 79

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César Mora and Rubén Sánchez

acceleration) to be aa=ua;bub which for all group of motions even those not satisfying (18), this is a gradient aa=(ln(1/ξ)),a. Then, a candidate of Lanczos potential is given by

we continue the present example employing the null tetrad provided by Kinnersley, which are l

Labc = ( aa ub − ab ua )uc (20)

1 3

− s ( aa g bc − ab g ac ) ,

ua =

1 (0, 0,1, −i csc(θ )). 2r

1 r

γ =

M , 2r 2

∂ r2 ∂ + , a Δ ∂t ∂r Δ ∂ 1∂ − , D '= n a ∇ a = 2 ∂t 2 r 2 ∂r a D=l ∇

L1 = −

1M⎛

Ψ 0 = Cabcd l m l m ,

Ψ 1 = Cabcd l m l n ,

Ψ 2 = Cabcd l m m n ,

Ψ 3 = Cabcd l n m n ,

b c

ma m = 1, a

b c

(32)

L1 = Labc l m m ,

L2 = Labc m n l ,

L3 = Labc m n m ,

L4 = Labc l m m ,

L5 = Labc l m n ,

b c

(26)

L0 = Labc l m l ,

b c

(33)

L6 = Labc m n m , L7 = Labc m n n . This is an example of a Lanczos potential that has been computed from the Novello and Velloso’s Lanczos gravitational potential 3-rank tensor that illustrates the use of the null tetrad and spinorial coefficients from the Newmann- Penrose formalism [10]. a

⎞ ⎟ 0 0 0 ⎟ , (27) 0 0 −1 ⎟ ⎟ 0 −1 0 ⎠ 0

VI. CONCLUSIONS It has been found that the method of Novello and Velloso [10] described in section IV, could be used to compute a Lanczos gravitational potential, and it has been pointed out

k a l a = −1,

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this is the 3-rank tensor that Novello and Velloso [10] prove to be a Lanczos potential. We start to manage the example by using a preferred null tetrad in the NewmannPenrose convention, say {ea } = ( ma , ma , la , k a ), 1

(31)

Ψ 4 = Cabcd m n m n , and Lanczos scalars

now, with the velocity vector ua and the acceleration aa, it is possible to write a Lanczos potential in the following form

⎛0 ⎜1 g ab = 2 m( a mb ) − 2k ( a lb ) = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

⎜1 − ⎟ , L6 = − 2 , 3r ⎝ r ⎠ 6r

−1

(25)

Labc = ( aa ub − ab ua )uc − ( aa g bc − ab g ac ),

2M ⎞

where we used the following relations between the null tetrad and the Weyl scalars

(24)

aa = u a ; b u b ,

with

⎛ ∂ ∂ ⎞ i − ⎜ ⎟, ∂ ∂ θ θ φ⎠ sin( ) ⎝

from these set of relations we have that the only nonvanishing components of Lanczos tensor are

then

u a ;b = aa ub ,

1 2r

δ ' = m ∇a =

(30)

∂ ⎞ 1 ⎛ ∂ i + ⎜ ⎟, θ θ φ⎠ ∂ ∂ sin( ) 2r ⎝

ua u = 1,

(29)

δ = m a∇ a =

cot(θ ) r −2 M , μ=− , 2 2r 2r 2 M Ψ = , 2 r3

then, the intrinsic derivatives are

The time-like Killing vector ξ = δ 0 has squared norm ⎛ 2M ⎞ , 2 (22) ξ = g 00 = ⎜ 1 − ⎟ r ⎠ ⎝ clearly this vector fields are hypersurface-orthogonal. If we introduce the corresponding unit vector field,

ξa

ρ = − , β = −α =

Now, we show a brief example of the method [11] using the Schwarzschild line element in the coordinates, (t, r, θ, ø) as follows 2 ⎛ 2 M ⎞ dt 2 − dr 2 ds = ⎜ 1 − ⎟ 2M r ⎠ ⎝ 1− (21) r 2

(28)

1 (0,0,1,i csc(θ )), 2r

Here, the non-vanishing spin coefficients and Weyl scalar components are

V. AN EXAMPLE FOR THE SCHARZSCHILD SPACE-TIME.

ma =

which satisfies (6), (7) and (9). Then, verifying the Lanczos gauge (10) and the (3) condition of the potential, we can fix completely our candidate as a full-fledged Lanczos potential. We can trace the spinorial analog of (3) to fix our candidate. In the following section, we show an example for the Schwarzschild space-time.

− r dθ − r sin(θ ) dφ

1 2 1 2 a ( r , Δ , 0, 0), n = ( r , −Δ , 0, 0), 2 Δ 2r 2 Δ ≡ r − 2 Mr ,

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An heuristic review of Lanczos potential

that we can use it in the derivation of the Weyl curvature tensor for the simple case of a Schwarzschild spherically symmetric vacuum space-time. The Lanczos tensor is important in the derivation of the Einstein field equations in his Jordan form. We have used the spin-coefficients and the Newmann-Penrose formalism in this method to achieve our objective of showing an easy and convenient way to get this important quantity.

A.I NEWMANN-PENROSE CONVENTION FOR THE SPIN-COEFFICIENTS In this section we show the symbology employed by Newmann and Penrose to denote several spin-coefficients that we have already computed for the vacuum space-time. This notation has been proved to be very useful. The Christoffel symbols of second kind can be written in terms of spinorial coefficients as

AKNOWLEDGEMENTS

C C Γ ab c = γ AAB ε B C + γ AABC ε B ,

This work was supported by EDI, COFAA-IPN SNICONACyT grants and Research Project SIP-20071482.

(34)

where we followed the convention of decomposition of the null tetrad in terms of the canonical spinorial frame

REFERENCES

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m a = o Aι A ,

[1] Bergqvist, G., A Lanczos potential in Kerr geometry, J. Math. Phys. 38, 3142-3154 (1997); Edgar, S. B. and Hoglund, a., The Lanczos potential for the Weyl curvature tensor: existence, wave equation and algorithms, Proc. Roy. Soc. Lond. A 453, 835-851 (1997); López-Bonilla, J. L., Ovando, G. and Peña, J. J., Lanczos potential for plane gravitational waves, Found. Phys. Lett. 12, 401-405 (1999); Cartin, D., The Lanczos potential as a spin-2 field, hep-th/0311185v1 (2003); O’Donnell, P., Lanczos tensor potential for conformally flat space-times 119, 341-345 (2004); Mena, F. C and Tod, P., Lanczos potentials and a definition of gravitational entropy for perturbed FLRW space-times, gr-qc/0702057v1 (2007). [2] Misner, Ch. W., Thorne, K. S. and Wheeler, J. A. (Gravitation, Freeman, New York, 1995). [3] Wald, Robert M. (General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago and London, 1984). [4] Hawkings, S. W., Ellis, G. F. R. (The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Universty Press, Cambridge, 1973). [5] Weinberg, S. (Gravitation and Cosmology: Principles and Aplications of the General Theory of Relativity, John Wiley, New York, 1972). [6] Penrose, R. and Rindler, W. (Spinors and space-time, vol. 1 “Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields”, Cambridge University Press, Cambridge, 1984). [7] Stephani, H., Kramer, D., Maccallum, M., Hoenselaers, C., Herlt, E. (Exact Solutions of Einstein’s Field Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 2006). [8] Holgersson, D. (Lanczos potentials for perfect fluid cosmologies, Linköping University Thesis, 2004); on-line at: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-2582 [9] Lanczos, C., The splitting of the Riemann tensor, Rev. Mod. Phys. 34, 379-389 (1962). [10] Novello, M. and Velloso, A. L., The connection between general observers and Lanczos potential, Gen. Rel. Grav. 19, 1251-1265 (1987). [11] Dolan, P. and Kim, C. W., Some solutions of the Lanczos vacuum wave equation, Proc. R. Soc. Lond. 447, 577-585 (1994).

ma = ι Ao A ,

(35)

l a = ι Aι A ,

k a = o Ao A ,

the basis spinors o and ι from a dyad in the sense that satisfies the normalized relation of inner product: A

oAι A = ε AB o Aι B = 1, and ε AB is the “local metric” of the spin space SL(2,C), which has the components

⎛ 0 1⎞ ε AB = ε AB = ⎜ ⎟. ⎝ −1 0 ⎠ The spinor indices are raised and lowered according to the rules

α = ε αB , A

α A = ε ABα .

(36)

The spin inner product is antisymmetric in the sense that the spinorial indices A, B,… do not commute, i.e.

α Aε

≠ ε αA, BA

(37)

ε ABα β = α A β = −α β A . A

The diagrams of Newmann-Penrose are the following TABLE I. Symbology of Newmann-Penrose for the spinor C γ AAB .

A A \ B

0 0

−κ

−τ '

γ'

1 0

−ρ

−σ '

β'

0 1

−σ

−ρ '

α'

1 1

−τ

−κ '

TABLE II. Symbology of Newmann-Penrose for the spinor

γ AABC .

A A \ B C

0 0

0 0 1 0

1 0 =1 0

1 1

ε =− γ '

π =−τ '

α =− β '

λ =−σ '

0 1

β =−α '

μ =− ρ '

1 1

γ =− ε '

ν = −κ '

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César Mora and Rubén Sánchez

There are also two more tables for the complex conjugate spin-coefficients symbols.

Notice that in these tables the second and third rows, of the complex conjugate of spin-coefficient γ AAB

γ AAB

and

are interchanged. Because of the obvious relations γ AABC

TABLE III. Symbology of Newmann-Penrose for the spinor C

. C

_______ C AAB

A A \ B

0 0

−κ

−τ '

γ'

0 1

−ρ

−σ '

β'

1 0

−σ

−ρ '

α'

1 1

−τ

−κ '

ε'

C C = γ AAB = γ AAB ,

(38)

and correspondingly _______

γ AABC = γ AABC = γ AABC .

(39)

(We also can think that the capital latin spinorial indices

, B ,... can not see the spinorial indices without with dot A

TABLE IV. Symbology of Newmann-Penrose for the spinor

γ AABC .

A A \ B C

0 0

0 1 =1 0

1 1

0 0 0 1

ε = −γ '

π = −τ '

α =− β '

λ = −σ '

1 0

β =−α '

μ =− ρ '

1 1

γ = −ε '

ν =−κ '

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a dot A, B,... and then, can permute with this last set without interference. But the capital indices without the dot A, B,... can not commute between them, because in doing so, they could interfere with the value of the spinorial quantity.)

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Una idea profunda en la comprensión del mundo físico: el principio de superposición de estados O. Organista, V. Gómez, D. Jaimes y J. Rodríguez Grupo de Física Matemática, Departamento de Física, Universidad Pedagógica Nacional, Calle 73 No. 11-95, Bogotá D. C., Colombia. E-mail: [emailprotected] (Recibido el 15 de agosto de 2007; aceptado el 10 de septiembre de 2007)

Resumen Se presenta un conjunto de ejemplos del principio de superposición. Este conjunto se estructura de tal forma que la idea se va desarrollando progresivamente desde nociones elementales hasta la superposición de amplitudes de probabilidad cuánticas. Se muestran relaciones y diferencias entre el uso de esta idea desde los puntos de vista clásico y cuántico. Palabras claves: Comprensión del concepto de superposición, intuición en mecánica cuántica, ilustraciones del principio de superposición de estados.

Abstract A group of examples of the superposition principle is presented. This group is structured in such a way that the idea leaves developing progressively from elementary notions until the superposition of quantum probability amplitudes. Relations and differences between the uses of this idea are identified from the classic and quantum points of view. Key words: Understanding of the superposition concept, intuition in quantum mechanics, illustrations of the superposition principle of states. PACS: 03.65.Ta, 01.40.gb, 01.50.-i.

ISSN 1870-9095

ausencia dificulta la apropiación de una idea y por lo tanto su comprensión. Uno de los cambios fundamentales y más drásticos para el pensamiento contenido en la teoría cuántica se encuentra presente en el llamado principio de superposición de estados [8,9]. Este principio afirma que la combinación lineal de dos estados posibles del sistema, es también, un estado posible del sistema. Lo cual lleva a pensar que los objetos cuánticos están en todos sus estados posibles, aunque sean estados, que desde el punto de vista de la física clásica, se interpretan como contradictorios [3]. Diversas investigaciones sobre el principio de superposición se presentan en la literatura, con énfasis distintos. En investigaciones en enseñanza de la física se evidencia malos entendidos de este principio, aún desde la teoría clásica [10]. Lynn y Caponigro, por su parte, hacen notar que la interpretación del principio de superposición de estados cuánticos está íntimamente relacionada con los supuestos filosóficos que se asumen, tales como los que subyacen al platonismo, al idealismo y al realismo [9]. Por su parte, Everett propone una nueva interpretación de la teoría cuántica [11]. En su interpretación, el estado de superposición queda determinado por el conjunto de

I. INTRODUCCIÓN La mecánica cuántica, provee un esquema racional adecuado para la descripción del mundo microscópico. Esta descripción es necesaria para la comprensión del mundo macroscópico pues la materia y la radiación consisten de partículas subatómicas. Sin embargo, un conjunto de leyes diferentes a las leyes clásicas es requerido. Este conjunto de leyes se presenta al estudiante que inicia su estudio de la naturaleza desde la teoría cuántica, como una teoría anti-intuitiva [1,2,3,4], cuyos principios resultan de difícil comprensión. Una de las razones por las que sucede esto es porque en mecánica cuántica se tiene un grado de abstracción tal que se pierden las imágenes directas que permiten familiarizarse con los fenómenos [5,6]. Desde el punto de vista de la teoría cognitiva, en particular, de la teoría de Johnson-Laird, las imágenes son un tipo de representaciones que contienen aspectos perceptibles de los objetos. Según dicha teoría “la mente es un sistema de representaciones simbólicas, esta construye símbolos y los utiliza en diferentes procesos cognitivos, como: la percepción, el pensamiento, el lenguaje, etc.” [7]. De esta manera, el uso de imágenes constituye un recurso cognitivo para el pensamiento del ser humano y su

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observaciones (realizaciones) secuenciales realizadas sobre el sistema [3]. Roger Newton, resalta el hecho que los efectos de interferencia producidos por la superposición de estados se deben a la caracterización del estado como un vector de estado y no como un rayo. Newton, señala que es precisamente esta caracterización del estado, “la que conlleva al efecto Aharanov-Bohm, a la fase Berry y a otros fenómenos familiares de entrelazamiento” [12]. En otros estudios, se ha determinado el rango de validez del principio de superposición en la teoría cuántica no relativista. Cisneros, analiza tres reglas que limitan a este principio y que se conocen como reglas de superselección [8]. Por su parte, Shapiro ha llevado a cabo la idea de Kobzarev acerca de la posibilidad de mundos cuánticos donde se viole el principio de superposición. Shapiro, presenta una dinámica modificada del vector de estado [3], adicionando un término no lineal a la ecuación de Schrödinger. Muestra que es posible una interpretación probabilística de la función de onda modificada, al igual que la existencia de amplitudes de transición, como de cantidades físicas conservadas [13]. En este artículo presentamos nuestra contribución al esfuerzo por hacer de la teoría cuántica una teoría intuitiva. Se describe un conjunto de ejemplos estructurados como una unidad, que constituyen aportes didácticos para la divulgación y comprensión del principio de superposición en un curso introductorio de mecánica cuántica. Además se muestran relaciones y diferencias entre el principio de superposición desde los puntos de vista clásico y cuántico. El artículo está organizado como sigue: en la Sección II se ofrece un conjunto de ejemplos sobre el principio de superposición clásico. A partir de estos ejemplos abstraemos cuatro nociones constitutivas del concepto de superposición. En la Sección III se caracteriza el principio de superposición en mecánica cuántica. En la Sección IV se ilustra este principio y en la Sección V se enfatizan los cambios que sufre el concepto de intuición en este nuevo marco teórico, finalmente en la Sección VI presentamos nuestras conclusiones.

primer ejemplo la noción que queremos resaltar, es la de un conjunto de individualidades constituyéndose como un todo. B. Superposición de luz de colores Nuestro siguiente ejemplo, es el maravilloso fenómeno de los colores. La luz proveniente del Sol al incidir sobre un prisma, se descompone en un conjunto de colores. Este conjunto de colores, al ser nuevamente combinado en una misma región del espacio se percibe como luz blanca. Además de la individualidad de cada color, resaltamos aquí la idea de separabilidad como noción constitutiva del concepto de superposición. Notemos además que no es posible identificar, a simple vista, en la luz blanca los diferentes colores; se hizo necesario un agente externo, el prisma, para evidenciar el conjunto de individualidades que coexisten en el sistema «luz blanca». Así, es debido a nuestras capacidades ópticas que no podemos, como en el ejemplo de la oficina, identificar en el sistema cada uno de los elementos superpuestos. Posiblemente si tuviéramos «ojos prismas» veríamos en vez de luz blanca una gama de colores. C. Superposición de movimientos Nuestro siguiente ejemplo donde se presenta una combinación de entidades que no pierden su individualidad, separables pero que combinadas generan una percepción distinta a la individualidad de cada componente, es la superposición de movimientos. Tomemos como ejemplo el movimiento parabólico: se superpone un movimiento horizontal con velocidad constante y un movimiento vertical con aceleración constante generando una trayectoria parabólica. Si se “apaga” el movimiento horizontal, el objeto continua en caída libre. Si se apaga el movimiento de caída libre, el movimiento horizontal perdura. Como en el ejemplo anterior, en este, al apreciar la trayectoria parabólica no se puede a simple vista identificar cada uno de los elementos superpuestos. Sin embargo, si se proyecta el movimiento a dos pantallas ubicadas adecuadamente, sus sombras darían cuenta de las individualidades que componen el estado de superposición. En estos ejemplos se ha querido enfatizar reiteradamente que la superposición no es mezcla de entidades, en el sentido que en una mezcla se pierde la individualidad de las componentes. Por ejemplo, en la realización de un jugo de fresas, después de licuar las fresas con el agua es imposible restablecer las fresas y el agua por aparte.

II. EJEMPLOS SOBRE EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN CLÁSICO A. Un sistema visto como superposición de objetos Un conjunto de objetos que configuran un determinado sistema nos ofrece una primera noción del principio de superposición. Encontramos objetos que conforman el sistema y que no pierden su identidad; sin embargo, el conjunto como un todo genera una percepción global independiente a la percepción de cada uno de sus objetos componentes. Por ejemplo, los elementos que configuran una oficina. Cada uno de los elementos puede conmutarse, cambiarse de posición, pero la noción de oficina se mantiene. Si se quita el computador y luego los escritorios y así sucesivamente la percepción de oficina se va diluyendo, hasta quedar un simple cuarto vacío. En este Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

D. Otros ejemplos Las visualizaciones de superposiciones de ondas en cuerdas, en membranas, en el agua [14], permiten deleitarse con la percepción de la superposición. Además es bien conocido el uso del concepto de superposición de fuerzas, de campos eléctricos, de campos magnéticos, etc.

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Una idea profunda en la comprensión del mundo físico: el principio de superposición de estados

Ahora, vale la pena presentar la idea de superposición en otros escenarios. La teoría de series nos ayuda a ver los números en términos de extrañas superposiciones. Por ejemplo los números irracionales se pueden ver como superposición de números racionales:

π2 =

∞

∑

n = 0 ( 2n + 1)

π4 =∑

n =1 n

escalar por una individualidad (por un vector). Por ejemplo, el desplazamiento es una magnitud vectorial y cada desplazamiento (cada individualidad) se puede escribir como combinación de otros desplazamientos. Normalmente se escribe como: G G G G Δ r = Δ xi + Δ yj + Δ zk .

(1)

De esta manera, un desplazamiento puede ser pensado como una magnitud tres dimensional. Este caso se puede generalizar para considerar superposiciones de magnitudes n-dimensionales. En este sentido, las cantidades vectoriales de la física como velocidad, momentum, aceleración, fuerza, campo eléctrico, campo magnético, etc., ilustran el concepto de superposición. El principio de superposición clásico establece entonces, que existen entidades físicas y matemáticas que se pueden expresar como una combinación de “elementos” que coexisten conservando su individualidad. Desde el punto de vista cognitivo, una característica de los ejemplos clásicos que hemos enunciado, es que de todos ellos fácilmente existe una imagen [7]. En algunos casos la imagen es concreta, sustancial, como en los ejemplos de la oficina, de ondas en una cuerda o de ondas en el agua; en otros casos existen imágenes gráficas como en la superposición de movimientos y en otros casos las expresiones matemáticas evidencian el principio de superposición. Así las imágenes mentales se convierten en un recurso del pensamiento para la comprensión de un concepto, para su familiarización y su uso [16].

El análisis de Fourier resuelve la cuestión de cuándo una función f(t) puede ser superposición (suma o integral) de exponenciales exp(iωt). Por ejemplo, f (t ) =

∞

∑ c n e inωt ,

(2)

n = −∞

en donde cn son coeficientes reales y ω representa la frecuencia de la función. Nótese que en este caso las individualidades son las funciones exponenciales de la forma einωt. Los desarrollos en series de Taylor de una función, f (t ) =

∞

∑

n =0

f (k ) ( x 0 ) ( x − x 0 )k , k!

(3)

donde k indica la k-ésima derivada de f(x), permiten descomponer una función en términos de polinomios, en este caso las individualidades son los polinomios de la forma xk. Estos ejemplos evidencian otra noción constitutiva de la idea de superposición, la idea de contribución; esta nos da cuenta del aporte de cada individualidad al estado de superposición. Este aporte (análogo al peso estadístico) no altera la naturaleza individual de los elementos superpuestos. En los ejemplos de las series de Fourier y de Taylor la contribución de cada individualidad se y f(k)(xo)/k!, manifiesta en los coeficientes cn respectivamente. En los casos perceptibles de superposición de ondas se sabe que las contribuciones pueden ser en fase, en desfase o en amplitudes (intensidad).

III. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN EN MECÁNICA CUÁNTICA Hemos ilustrado el principio de superposición desde el punto de vista clásico y este esfuerzo nos ha llevado a proponer cuatro nociones que fundamentan este principio: individualidad, separabilidad, percepción como un todo y contribución. Se sabe que la mecánica cuántica exige una nueva organización conceptual para la descripción de los fenómenos atómicos y con frecuencia se dice que el principio de superposición está en el corazón de esta nueva organización conceptual. Así que la cuestión que interesa es: ¿qué cambios sufre el principio de superposición clásico en la mecánica cuántica? Inicialmente vale la pena preguntarse si en la teoría cuántica es posible pensar en magnitudes n-dimensionales, como en el caso de las magnitudes vectoriales clásicas. La respuesta es contundente: sí. Todas las magnitudes que especifican un atributo de una entidad física (polarización, espín, localización, traslación, momentum, energía, etc.) se deben pensar como n-dimensionales en la teoría cuántica y se denominan vectores de estado. En mecánica clásica los atributos de un objeto son pensados como existentes a priori. Atributos tales como forma (extensibilidad), dureza, transparencia, localizabilidad, movilidad, etc., se asumen como determinados objetivamente aún si no se miden. Mientras que en mecánica cuántica, siguiendo la interpretación

E. El principio de superposición clásico El concepto de superposición surge para expresar concisamente los resultados de este gran número de ejemplos. Las ideas de individualidad, separabilidad, percepción como un todo y contribución, se formalizan en la estructura algebraica conocida como espacio vectorial [15]. Esta formalización asocia el concepto de superposición con el concepto de operación aditiva. La individualidad queda formalizada en los elementos del espacio vectorial (los vectores, cada vector es en sí mismo una individualidad), la separabilidad en la idea de combinación linealmente independiente, la percepción como un todo con la definición unívoca de los coeficientes (amplitudes de probabilidad) de los estados en una base determinada y la contribución, en la multiplicación de un Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

(4)

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ortodoxa de Copenhagen [3], cada magnitud física que representa un atributo se debe pensar como una superposición de las n dimensiones que la constituyen. Estas n dimensiones representan los posibles valores (posibilidades) que puede tomar la magnitud. Estas posibilidades se manifiestan en el momento de la medición, así que los atributos que caracterizan un determinado sistema físico dependen del observador. Este cambio que propone la mecánica cuántica en cuanto a cómo se conciben los atributos nos lleva directamente a introducir el principio de superposición, ya que el vector de estado se debe considerar como una superposición de posibilidades (antes de la medición). El uso del concepto de superposición de estados, en donde las individualidades son las posibilidades de ser o de estar de un sistema, se adecua con las cuatro nociones que propusimos en el caso clásico. El cambio drástico se da en cuanto a la interpretación de una de las nociones presentadas, la noción de contribución, ya que los coeficientes que acompañan a las individualidades 1 no representan información directa del sistema. Para saber la contribución (número real) de cada individualidad es necesario calcular el cuadrado de la norma del coeficiente; este resultado se interpreta como la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado correspondiente al ser observado (medido). Presentamos a continuación un conjunto de ejemplos para ilustrar esta idea.

p (vivo) =

muerto .

p (muerto) =

1 . 2

(7)

Nótese que la suma de probabilidades es uno puesto que el gato sólo tiene dos posibilidades de estar: vivo o muerto. B. Posición de una partícula Otro ejemplo de superposición de estados lo encontramos en las posibles posiciones, dentro de ciertos límites, en las que se encuentra una partícula. El estado de superposición implica que existe una probabilidad distinta de cero de encontrar la partícula dentro de esos límites, se denota de la forma: posición partícula

= a1

posición x1

+ ... + a N

posición x N

. (8)

La expresión anterior representa una suma de estados posibles, cada uno de ellos contribuyendo de distinta forma al estado total. Se debe cumplir que:

∑ ai

= 1,

(9)

i =1

donde x1 y xN son los límites donde se encuentra la partícula.

Un gato dentro de una caja cerrada con átomos radiactivos constituye nuestro primer ejemplo de superposición de estados. Si se considera que con la desintegración del 50% de los átomos el gato muere, y después de un determinado tiempo se ha desintegrado esta cantidad de la muestra, si no se abre la caja, aunque un observador no podría decir nada acerca del estado en el que se encuentra el gato, vivo o muerto, podría decir que el gato tiene dos posibilidades de estar, el estar vivo o el estar muerto, así que como no está observando en cual está, se dice que el gato se encuentra en un estado de superposición de estas dos posibilidades. Simbólicamente esta situación se representa como: 1

(6)

A. El gato de Schrödinger (experimento mental)

vivo +

1 , 2

y la probabilidad de que esté muerto es:

IV. EJEMPLOS SOBRE EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS

estado del gato =

C. Polarización de fotones Se asume que un fotón polarizado oblicuamente puede ser visto como estando parcialmente en el estado de polarización paralelo y parcialmente en el estado de polarización perpendicular [17]. Por lo tanto, el estado de polarización oblicuo puede ser considerado como el resultado de algún tipo de proceso de superposición aplicado a los dos estados, paralelo y perpendicular. Esto implica un cierto tipo de vínculo, de relación entre los distintos estados de polarización, un vínculo similar al de haces polarizados en óptica clásica, pero que ahora es aplicado, no a los haces, sino a los estados de polarización de un fotón particular [17]. Este vínculo permite que cualquier estado de polarización sea expresado como una superposición de cualquier par de estados de polarización mutuamente perpendiculares.

(5)

Así la probabilidad de que el gato esté vivo es:

D. Estado de Localización Tomemos de nuevo fotones. Tratemos esta vez con su posición y su momentum en vez de la polarización. Si preparamos un haz monocromático, entonces sabemos algo sobre la localización en el espacio y el momentum de

Estos coeficientes se conocen como amplitudes de probabilidad y en general son números complejos.

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Una idea profunda en la comprensión del mundo físico: el principio de superposición de estados

los fotones asociados. Sabemos que cada uno de los fotones está en algún sitio del espacio por donde va el haz. Si consideramos el haz formado por un solo fotón y lo hacemos pasar por una pantalla con dos rendijas, debido al fenómeno de interferencia, es necesario pensar la localización del fotón como superposición de las localizaciones de cada una de las dos rendijas, es decir, el estado de localización del fotón es la superposición de los estados de localización de las rendijas: trayectoria del fotón = a1 rendija 1 + a2 rendija 2

(modelo explicativo) lo engloba, es decir, el espín es considerado como una clase de momento angular [19]. Desde el punto de vista cognitivo este recurso se convierte en una herramienta que trasciende el uso de imágenes sustancialistas, puesto que, aunque las imágenes ayudan a familiarizarnos con una determinada teoría no son necesarias para la coherencia de ésta [1,7,16]. Es importante tener en cuenta que para lograr llegar al nivel de abstracción que exige la teoría cuántica es necesario además de ampliar la noción de imagen, cambiar el concepto de intuición [20]. Ahora la intuición debe complementarse con las representaciones matemáticas del mundo microscópico [6,21]. La intuición es la capacidad que tenemos de predecir lo que va a suceder y se ajusta a nuestra percepción sensorial [22]. La teoría cuántica trabaja a una escala microscópica que no percibimos directamente a través de nuestros sentidos, por lo tanto no es posible dar una predicción de lo que sucederá solo con la observación del sistema, por esto se dice que es anti-intuitiva. Desarrollar intuición en mecánica cuántica no es pretender poder observar directamente a esta escala atómica, y así dar predicciones, la idea es reformular o ampliar el concepto de intuición. Es la noción de probabilidad la que permite interpretar el principio de superposición de estados, es por esto que la mecánica cuántica exige otro tipo de intuición: la existencia de un modelo explicativo (por su puesto abstracto) debe ser parte básica de la intuición. La dificultad entonces se va diluyendo si nos acostumbramos a pensar de esta manera.

. (10)

Asumir el estado de localización de esta forma permite reproducir los patrones de interferencia al otro lado de la pantalla [1]. E. Estado de espín El estado de espín debe ser pensado como una magnitud n-dimensional según el sistema microscópico. Si una partícula es de espín ½, el espacio de estados corresponde a un espacio vectorial 2-dimensional. Si es de espín 1, el espacio de estados correspondiente es 3-dimensional. Si es de espín 3/2 el espacio de estados correspondiente es 4dimensional, etc. [17].

V. SOBRE LA INTUICIÓN QUE EXIGE LA TEORÍA CUÁNTICA Los ejemplos mostrados anteriormente se pueden sintetizar diciendo que un sistema cuántico es descrito por un vector de estado, el cual puede ser expandido en una superposición de estados particulares (auto-estados) de algún observable, N

ψ = ∑ ci ψ i

VI. CONCLUSIONES Se ha ilustrado, por medio de ejemplos, el principio de superposición clásico. A partir de estos ejemplos se ha logrado abstraer cuatro nociones constitutivas de este principio: individualidad, separabilidad, percepción como un todo y contribución. Estas nociones se hacen independientes de la naturaleza de las entidades que se superponen y es en este sentido que consideramos que las cuatro nociones estructuran el principio de superposición. Esta estructura permite analizar el principio de superposición en mecánica cuántica. Esto se llevó a cabo realizando las siguientes relaciones: las individualidades con las posibilidades de estar de un sistema (estados del sistema), la separabilidad con la idea de una combinación linealmente independiente de los estados, la percepción como un todo con la definición unívoca de los coeficientes (amplitudes de probabilidad) de los estados en una base determinada (auto-estados), y las contribuciones, con el cuadrado del valor absoluto de las amplitudes de probabilidad.

(11)

i =1

donde N representa la dimensionalidad del espacio de estados y donde los coeficientes ci son amplitudes de probabilidad. La probabilidad de que un observador (medidor de un atributo) encuentre al sistema en un estado ψ i, está dada por ⏐ci⏐2. La característica básica del principio de superposición de la teoría cuántica es que las amplitudes de probabilidad puedan interferir y esta característica no tiene análogo clásico [12]. Es esta característica la que genera una gran cantidad de fenomenología novedosa: estados entrelazados, teleportación de estados, criptografía cuántica, computación e información cuántica, etc. [18]. El acostumbrarse a pensar en superponer amplitudes de probabilidad (posibilidades de estar) nos ayuda a apropiarnos de la nueva idea propuesta por la teoría cuántica. El considerar que algo es posible si se ajusta con un modelo explicativo coherente es un recurso que exige la teoría cuántica al pensamiento. Por ejemplo, el espín se hace posible gracias a que la teoría del momento angular

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Bandas de energía, origen y consecuencias I. Rojas1,2, César Mora1 y H. J. Herrera Suárez1, 3 1

CICATA-IPN Av. Legaría No. 694. Col. Irrigación, CP 11,500, México D. F. Universidad Tecnológica de Querétaro, Ave. Pie de la Cuesta S7N, Col. San Pedrito Peñuelas, Querétaro Qro., México. 3 Universidad de Ibagué – Coruniversitaria, Carrera 22, Calle 67, Barrio Ambalá, Colombia. 2

E-mail: [emailprotected] (Recibido el 6 de Julio de 2007; aceptado el 10 de Agosto de 2007)

Resumen En un material cristalino existen bandas de energía donde los electrones se mueven libremente, es decir, estas bandas son el resultado de la superposición de los niveles atómicos de los átomos que constituyen un cristal. Cuando los átomos individuales se acercan para formar el cristal, se colocan en un arreglo periódico formando una red cristalina, donde sus niveles de energía atómicos interaccionan entre sí, dando lugar a bandas de energía. Una ilustración simple de los orígenes atómicos de algunos anchos de banda de energía prohibida (band gaps) se dan con un ejemplo de una cadena lineal de átomos en los cuales cada átomo está asociado con dos estados. Los orígenes químicos del band gap se indican considerando una aleación binaria AB. Se describe la clasificación de los metales y aislantes de acuerdo a la teoría de bandas y el concepto de enlace metálico se introduce como un enlace covalente insaturado. Palabras clave: Mecánica cuántica, bandas de energía, estructura de bandas.

Abstract In crystalline material exists energy band gaps where the electrons can move freely, so, these bands are the results of atomic levels superposition that form a crystal. When the individuals’ atoms are closing to form a crystal, they take a place in a periodic arrangement forming a crystalline lattice, where their atomic energy levels interact themselves, forming energy band gaps. A simple illustration of the atomic origins of some band gaps is given with an example of a linear chain of atoms in which each atom is associated with two states. The classification of metals insulates and semi conductors according with the band gaps theory is described and the concept of metallic bond is introduced as a unsaturated covalent bond. Key words: Quantum mechanics, band gaps, bands structure. PACS: 03.65.-w, 64.40.Kb, 71.20.-b

ISSN 1870-9095

contradicción y que la estabilidad del átomo, según el modelo de Rutherford, no podía reconciliarse con los fundamentos de la mecánica de Newton y el electromagnetismo de Maxwell. En 1913 se inicia la segunda etapa del desarrollo de la física cuántica, al publicar Niels Bohr su notable trabajo sobre la constitución de átomos y moléculas, en el cual aplicó las ideas cuánticas a la estructura del átomo de hidrógeno. Bohr trabajó con el átomo de hidrógeno, ya que solamente tiene un electrón y encontró los valores de las frecuencias que debería tener la radiación emitida por el electrón. Resultó que estos valores que obtuvo concordaban, con los valores experimentales que se conocían desde hacía mucho tiempo. Además, encontró en términos de la constante de Planck, de la masa y de las cargas eléctricas del electrón, una cantidad que se había obtenido empíricamente, en relación a los espectros de los átomos, que es la llamada constante de Rydberg. Asimismo, Bohr predijo la existencia de otras líneas del

I. INTRODUCCIÓN Al final del primer Congreso Solvay, en 1911, termina la etapa inicial de la historia de la teoría cuántica, en la que gran parte de la comunidad científica reconoció que en la suposición de Planck había “algo” real. En los trabajos de Einstein por primera vez se aplicaron estas ideas, esencialmente en osciladores armónicos. Las ideas cuánticas no se habían utilizado en otro tipo de sistemas, ni se sabía cómo hacerlo. Sin embargo, las aplicaciones hechas fueron suficientes para concluir que la física clásica era limitada. El problema entonces sería cómo desarrollar una teoría consistente [1]. En 1912, Niels Bohr se unió al grupo de Rutherford en Manchester, Inglaterra. Bohr llegó justo en un momento importante, cuando se investigaban las consecuencias del modelo atómico de Rutherford. Un problema al que de inmediato se dedicó Bohr fue el de la estabilidad del átomo propuesto. Bohr aplicó la física clásica a esta cuestión, dándose cuenta de que se llegaba a una inmensa

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espectro que no caían en la región visible, sino en el ultravioleta extremo y en el infrarrojo extremo. Parte de estas predicciones fueron verificadas experimentalmente por T. Lyman en 1914, otra parte por F. Brackett en 1922 y otra parte más por A. H. Pfund en 1924 [2]. En noviembre de 1924, Louis de Broglie presentó en la Universidad de París su tesis doctoral “Investigaciones sobre la teoría de los cuanta”. Al realizar este trabajo, De Broglie estuvo muy influenciado, entre otras cosas, por el trabajo de Einstein de 1905 sobre los cuantos de radiación (fotones) así como por algunas ideas de su teoría de la relatividad especial. Hasta ese momento se había aceptado, aunque no entendido muy bien, el carácter dual de la radiación: en ciertas circunstancias la luz se comportaba como onda y en otras, como partícula. L. de Broglie avanzó un paso al llegar a la idea de que, al igual que la luz, la materia también debería tener este comportamiento dual [3]. Posteriormente, Schrödinger demostró que la mecánica ondulatoria y la mecánica de matrices son versiones matemáticas diferentes de una misma teoría, hoy denominada mecánica cuántica. Incluso en el caso del átomo de hidrógeno, formado por sólo dos partículas, ambas interpretaciones matemáticas son muy complejas. El siguiente átomo un poco más complejo (en comparación con el hidrógeno), el de helio, tiene tres partículas, e incluso en el sistema matemático relativamente sencillo de la dinámica clásica, el problema de los tres cuerpos (la descripción de las interacciones mutuas de tres cuerpos distintos) no se puede resolver por completo. Sin embargo, sí es posible calcular los niveles de energía. La elección depende de la conveniencia de la formulación para obtener soluciones aproximadas apropiadas. Todos estos trabajos de investigación llevados a cabo a principios del siglo pasado han ayudado a desarrollar lo que ahora conocemos como mecánica cuántica, que permite determinar y conocer las características electrónicas de los materiales así como su comportamiento subatómico, esto hace posible entender el por qué los metales son buenos conductores de la electricidad y del calor. Si la banda está parcialmente desocupada es factible la dispersión de electrones a estados desocupados, entonces existe flujo de electrones en el material, que determina el comportamiento de los metales. Si la banda está llena los electrones pasan a través del material, si existen estados desocupados en bandas de energía más altas sólo accesibles por excitación térmica por lo que el material se considera aislante. Un semiconductor es un material que se comporta como conductor o como aislante dependiendo del campo eléctrico en el que se encuentra. La configuración de las últimas bandas de energía son las de mayor interés en la conductividad eléctrica. Si la banda más externa no está completamente llena se denomina banda de conducción, pero si está llena se denomina banda de valencia. La diferencia de energía existente entre el máximo de la banda de valencia y el mínimo de la banda de conducción se le llama “band gap” (Eg). Así, para que un material pueda conducir electricidad, los electrones de la banda de valencia tienen que “saltar” a la banda de conducción y requieren una energía Eg como mínimo, la Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

cual es del orden de unos cuantos electrón-volts (eV). Un material semiconductor tiene un band gap pequeño de alrededor de 1eV, de tal manera que los electrones pueden saltar a la banda de conducción con la energía térmica que pueden recibir de sus alrededores. Al saltar un electrón a la banda de conducción, deja un estado vacío en la banda de valencia que se le denomina “hueco”. Los huecos pueden tratarse como partículas con carga igual a la de los electrones, pero positiva. Es por esto que en un semiconductor puede haber flujo de electrones en la banda de conducción y flujo de huecos en la banda de valencia. La ciencia de materiales en la actualidad busca relacionar las propiedades de estos para determinar las aplicaciones en equipos y dispositivos cada vez más sofisticados y con mejores propiedades, tanto electrónicas como mecánicas. Sabemos que las propiedades de los materiales están determinadas por su comportamiento electrónico desde el punto de vista atómico, y que dependen de su arreglo atómico cristalino. Desde los años 20's a 30's, surgió una nueva forma de la estructura electrónica de los materiales, más bien desde un punto de vista químico que del físico, aunque mucho de este trabajo ha sido realizado por los físicos. Para entender las propiedades de los materiales cristalinos y no cristalinos debemos tomar en cuenta diferentes puntos de vista y colocarnos en un problema del espacio real. Estas ideas no son nuevas, ya que en los años 20's y 30's del siglo XX, cuando se empezó a analizarse más a fondo la teoría de bandas en los sólidos, los físicos del estado sólido, y también los químicos trataron de entender las propiedades de los sólidos en términos de enlaces individuales. La teoría moderna nos permite analizar ya sea el punto de vista del espacio real o del espacio recíproco. El objetivo es entender que existe una relación entre la estructura de bandas de energía y el comportamiento atómico local y las propiedades electrónicas. En la sección II mencionamos cómo se forman las bandas de energía considerando un modelo simple asociado a los estados en que se encuentra un átomo de acuerdo a su número cuántico. En la sección III, se muestra un modelo del origen de las bandas de energía considerando una cadena lineal de átomos donde se asocia un átomo a dos estados de energía, así como los principios químicos de las bandas de energía considerando una aleación binaria AB. En la sección IV, se muestra un análisis de la variación que sufren las bandas de energía en un semiconductor en función de la temperatura y que provocan una expansión en la celda cristalina del semiconductor. En la sección V se hace un análisis general de los orígenes de las bandas de energía y qué información nos proporciona las características que posee un material en relación a las bandas de energía. Finalmente, en la sección VI mostramos nuestras conclusiones.

II. FORMACIÓN ENERGÍA

LAS

BANDAS

El análisis de la formación de bandas basado en un modelo simple considerando únicamente la banda s, donde asociamos un estado s con cada átomo, nos lleva a una 90

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Bandas de energía, origen y consecuencias

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Energía

banda de estados. El modelo de la banda s es un simplificación burda, ya que un átomo está asociado con más de un estado s. Dependiendo del valor del número cuántico principal puede haber estados s, p, d,... dentro de cada capa del átomo. A energías más altas, hay un continuo de estados de energía del electrón libre, los cuales lejos del átomo se representan por ondas planas. En este artículo nos enfocaremos sólo a los electrones de valencia. En el estado sólido, a presiones normales, los estados permanecen enlazados al núcleo y por lo tanto no elevan las bandas de energía. Se obtiene que existe una banda para cada estado de valencia en una celda unitaria de un cristal. Por lo tanto, si hay Na átomos en la celda unitaria y Nv estados de valencia asociados a cada átomo, entonces hay NaNv bandas. Los gaps de las bandas son rangos de energía en la cual no caen las bandas de energía, estos no sólo son importantes por las propiedades eléctricas y ópticas que comunican a los materiales, sino también pueden estabilizar un cristal en una estructura en particular [4]. La figura 1 muestra los cambios en los niveles de energía del electrón de un conjunto infinito de átomos en un cristal, así como el parámetro de red es reducido de 1 m a 1 Å. Cuando los átomos están separados 1 m, los dos estados de valencia de cada átomo no interactúan con estados de otros átomos (ejemplo, la probabilidad de tunelaje del electrón entre los átomos es despreciable). Cuando los átomos llegan a estar dentro del rango de tunelaje uno con respecto al otro (del orden de 10 Å), hay una probabilidad finita de que un electrón brinque de un átomo al siguiente y se produzca la formación de la banda. El ancho de la misma se incrementa en proporción al aumento de la probabilidad de tunelaje, el cual está determinado por la integral de salto. Eventualmente, en algunas densidades críticas, las bandas de energía empiezan a traslaparse y aumentan la densidad que amplía las bandas y provoca un mayor traslape de estas. Sin embargo, si la densidad de equilibrio del material está debajo de la densidad crítica, entonces hay un gap de energía entre las bandas. Los dos estados atómicos de la figura 1, podrían tener dos orígenes distintos. La primera posibilidad es que son dos estados atómicos en el mismo átomo, por ejemplo los estados 1s y 2s. La segunda posibilidad es que se refiera a estados en dos átomos distintos en la celda de un cristal, por ejemplo un estado en un átomo A y un estado en un átomo B en una aleación AB. Estas posibilidades son consistentes con el panorama de que el band gap tiene un origen atómico o químico. Una posible característica engañosa de la figura 1 es el hecho de que las dos bandas de estado provienen de dos estados atómicos a la izquierda. Podríamos pensar que los estados en la banda superior están formados a partir de combinaciones lineales de los estados atómicos superiores en átomos a través del cristal. Esto es incorrecto, ya que las bandas son mezclas de estados atómicos. Los estados moleculares son funciones de Bloch no de estados atómicos puros sino de combinaciones de estados atómicos llamados “híbridos”, esta mezcla de estados atómicos es llamada “Hibridación”.

Gap de energía

a0 Disminución de la separación atómica

FIGURA 1. Se muestra los dos niveles de energía en cada átomo de un cristal infinito ensanchado en las bandas, tanto que el parámetro de red es reducido a partir de un valor muy grande, donde el salto del electrón no ocurre, al valor a0 , perteneciendo al cristal en equilibrio. En a0 , las bandas de energía están separadas por un gap.

III. CADENAS INFINITAS Consideremos una cadena lineal infinita de átomos con espaciamiento atómico a y condiciones periódicas de frontera aplicadas en los extremos de la cadena. Cada átomo está asociado a dos estados 1 y 2 . Los elementos de la matriz Hamiltoniana son todos cero excepto para las integrales de salto entre átomos vecinos y los elementos de la matriz localizados. Si ε1 y ε 2 están además en los elementos de matriz localizados en 1 H 1 y 2 H 2 con ε1 y ε 2 , y si m,1 y m,2 indican los estados 1 y 2 en un átomo m, entonces las integrales de salto β1 , β12 , y β 2 son por lo general diferentes de cero: m,1 H m ± 1,1 = β1 ,

(1)

m,1 H m ± 1,2 = β12 , m,2 H m ± 1,2 = β 2 ,

así suponemos que las integrales de salto entre diferentes estados atómicos en átomos vecinos son las mismas. El modelo tiene por lo tanto cinco parámetros ε1 , ε 2 , β1 , β12, y β2. Debido a que hay una simetría traslacional podemos aplicar el teorema de Bloch. Sin embargo, ya que hay dos estados en cada sitio atómico, el teorema de Bloch establece una combinación lineal de los estados atómicos: Ψk( n ) = N

−

1 2

∑ e (c ikma

(n) 1

(k ) m,1 + c 2( n ) (k ) m,2

(2)

aquí (c 1( n ) ( k ) m ,1 + c 2( n ) ( k ) m , 2 ) es el estado híbrido, por ejemplo de una combinación lineal de estados

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I. Rojas, César Mora y H. J. Herrera Suárez

Estas dos soluciones están graficadas como una función de k en la Fig. 2. Reconocemos a g 1 ( k ) como la estructura de banda para la cadena lineal infinita si hubiera sólo estados 1 asociados con los átomos. Luego, g 2 (k ) es la

atómicos en un átomo m. Para asegurar que éste estado híbrido está normalizado requerimos que: 2

c1( n ) (k ) + c2( n ) (k ) = 1.

(3)

estructura de banda para una cadena infinita si solamente hubiera estados 2 , asociados con los átomos. En la Fig.

en donde (n) anticipa el hecho que en cada k habrá dos eigenestados los cuales deberán etiquetarse con n=1 y n=2. n es llamada el índice de la banda. Así, los números cuánticos para los eigenestados del sistema son el vector de onda k y el índice de banda n. La suma en la Ec. (2) de todos los sitios atómicos m y el factor N-1/2 es para normalizar el estado de Boch, donde N es el número (infinito) de sitios atómicos de la cadena. La ecuación de Schrödinger puede ser escrita como H Ψk( n ) = E Ψk( n ) ,

3, la banda inferior E k(1) cae de g1 (k ) y g 2 (k ) , mientras que la banda superior Ek( 2) cae arriba de g 1 (k ) y g 2 ( k ) , excepto en k = ±π / 2 a donde Ek(1) = g1 (k ) y E k( 2 ) = g 2 ( k ) . Por otra parte, observamos que el efecto de los estados acoplados 1 y 2 sobre los átomos adyacentes, a través de β12 aumenta la diferencia de energía entre las dos bandas g 1 (k ) y g 2 (k ) . Este efecto disminuye a medida que la diferencia de energía g 1 ( k ) − g 2 ( k ) se incrementa a

(4)

sustituyendo la Ec. (2) para en la Ec. (4) tenemos:

∑ e (c ikma

(n) 1

) (k ) m,2 ),

(k ) H m,1 + c 2( n ) (k ) H m,2 =

(

E k( n ) ∑ e ikma c1( n ) (k ) m,1 + c 2( n )

medida que β12 decrece. A cualquier valor particular de k hay obviamente un gap de energía entre Ek(1) y Ek( 2) , pero esto no significa que sea un gap de energía. Cuando hablamos de un gap de energía, significa que hay un rango de energías donde no hay eigenvalores para todos los vectores de onda. Así hay un gap en la densidad de estados como una función de la energía, esto se obtiene en la Fig. 3 si el máximo de la banda inferior está por abajo del mínimo de la banda superior, lo cual se alcanza cuando los parámetros ε1, ε2, β1, β2 y β12, satisfacen una simple desigualdad. Esto se ilustra en la Fig. 3, donde la densidad de estados correspondientes se muestra también a la derecha de la estructura de banda [4]. Así los band gaps surgen a partir de los conjuntos base extendiéndose a cada átomo incluyendo estados de energía atómicos más altos.

(5)

0,1 , y

proyectando la Ec. (5) sobre los estados

multiplicando la izquierda por 0,1 tenemos que satisface la ecuación de Euler: 0 = (ε 1 + 2 β 1 cos( ka ) − E k( n ) ) c1( n ) + 2 β 12 cos( ka ) c 2( n ) , (6) 0,2 ,

similarmente, proyectando la Ec. (5) sobre multiplicando a la izquierda por tenemos: 0 = 2 β 12 cos( ka )c1( n ) + (ε 2 + 2 β 2 cos( ka ) − E k( n ) )c 2( n ) ,

(7) Ek( 2)

ε + 2 β 1 cos( ka ) − E k( n ) 0= 1 2 β 12 cos( ka )

E(k)

las Ecs. (6) y (7) son ecuaciones seculares. Hay dos ecuaciones debido a que hay dos estados atómicos base en la celda unitaria. Para soluciones no triviales requerimos que el determinante secular sea cero: 2 β 12 cos( ka ) .. ε 2 + 2 β 2 cos( ka ) − E k( n )

−

2 ⎞ g1 ( k ) + g 2 ( k ) ⎛⎜ ⎛ g1 ( k ) − g 2 ( k ) ⎞ + ⎜ ⎟ + 4β122 cos2 ( ka )⎟ , ⎜⎝ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠

2 ⎞ g1 ( k ) + g 2 ( k ) ⎛⎜ ⎛ g1 ( k ) − g 2 ( k ) ⎞ − ⎜ ⎟ + 4 β 122 cos 2 ( ka )⎟ , ⎜⎝ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ 2

(9)

adyacentes como se muestra en la Ec. (11). Nótese que es menor que g 1 ( k ) y es mayor que g 2 (k ) en todos los vectores de onda excepto para k = ±π / 2a.

g 1 ( k ) = ε 1 + 2 β 1 cos( ka )

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−

FIGURA 2. Las bandas de energía Ek(1) y Ek( 2 ) , dadas por las Ecs. (9) y (10) para un anillo infinito en el cual cada átomo está asociado con dos estados con energías localizadas ε1 , ε 2 . Las curvas etiquetadas g 1 ( k ) y g2 (k ) son las bandas de energía en ausencia de saltos β12 entre los estados 1 y 2 sobre átomos

en donde:

g 2 (k ) = ε 2 + 2 β 2 cos( ka ).

(8)

Número de onda

1 2

E k( 2 ) =

Ek(1)

Expandiendo el determinante obtenemos una ecuación cuadrática con las raíces: Ek( 1 ) =

(10)

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Bandas de energía, origen y consecuencias

Si consideramos una cadena lineal de átomos A y B en una aleación, cada átomo está asociado con un sólo estado, y se obtienen dos bandas se estados, una de enlace y otra de antienlace. El gap de energía es la diferencia en energía entre el máximo de estados enlazados y el mínimo de estados no enlazados, la cual es sólo ε A − εB . Es este caso el band gap es una consecuencia de la presencia de dos átomos distintos en una celda unitaria.

⎛ ∂E g ⎜⎜ ⎝ ∂T

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ∂E g = ⎜⎜ ⎝ ∂T

⎛ ∂E g ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ ∂T ⎠ Ep

⎞ ⎟⎟ , ⎠ TE

(11)

en donde

primero es la expansión térmica de la celda, relacionada al cambio de energías del electrón con el volumen, y el segundo efecto es la renormalización directa de las bandas de energías debido a las interacciones electrón-fonón [7]. La expresión completa del cambio del gap Eg con la temperatura es:

∞

E k( 2)

⎛ ∂E g ⎜⎜ ⎝ ∂T

∞

⎞ ⎛ ∂E g ⎟⎟ = − 3α B ⎜⎜ ⎠ TE ⎝ ∂p

⎞ ⎟⎟ , ⎠T

(12)

Gap de energía

∞

⎛ ∂ L ⎞ el coeficiente de expansión lineal y = L− 1 ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ el módulo de expansión volumétrica. Los ⎛ ∂p ⎞ B = −V ⎜ ⎟ ⎝ ∂V ⎠T

siendo α E k(1) −

π a

∞ π a

cambios del gap inducidos por la expansión térmica son obtenidos usualmente de valores experimentales de α, B y la variación del gap con la presión hidrostática, medida en experimentos a presión alta. El efecto de la interacción electrón-fonón, por otra parte, implica el cálculo de dos tipos de procesos, los términos Debye-Waller (DW) y el Self-Energy (SE). Estos términos surgen de la teoría de perturbaciones hasta un segundo orden y ambos son proporcionales al cuadrado del desplazamiento atómico u, proporcional a T, esto es, a mayor T mayor u y ambos términos DW y SE aumentan. El término DW está relacionado con la segunda derivada del potencial en primer orden de la teoría de perturbaciones y es más fácil de evaluar. El término SE contiene la primera derivada del potencial del cristal (interacción electrón-fonón) y está dado por el segundo orden de la teoría de perturbaciones (emisión y reabsorción de un fonón y viceversa). Para obtener el término SE se tiene que sumar sobre todos los estados intermedios, i.e., se debe llevar a cabo una integración en el espacio k. Algunas veces este término puede despreciarse ya que la corrección DW produce una contribución más importante. Sin embargo, en años recientes ha sido más reconocido que se tiene que incluir ambos tipos de términos para calcular la variación del gap con la temperatura [7, 11].

d(E)

FIGURA 3. A la izquierda vemos la bandas de energía E y Ek( 2) mostradas en la Fig. 2. A la derecha la densidad de estados correspondientes d(E) está graficada como una función de la energía. Hay un gap de energía indirecto entre el máximo de E k(1) y el mínimo de Ek( 2) (1) k

Para entender el valor del cambio del gap de energía, es necesario conocer la densidad de estados y la energía de los orbitales electrónicos. Se requieren simulaciones basadas en la teoría de la densidad funcional (Density Functional Theory) para calcular la función de onda electrónica y su periodicidad. Para esto se puede emplear un software de alta confiabilidad y reputación como el programa de simulación Viena.

IV. BAND GAP EN UNA DIMENSIÓN Dentro de cada gap, la luz es completamente reflejada (Bragg), resultando una fuerte dispersión cerca de las frecuencias críticas del gap. Los eigenmodos de las ecuaciones de Maxwell en la vecindad del gap, son también modificados. En lugar de las ondas planas usuales, los eigenmodos llegan a ondas cuasiestáticamente moduladas, con una onda pura permanente se llega a alcanzar exactamente al número de onda para la resonancia. En este caso hay dos posibles ondas permanentes con diferentes fases espaciales. Estas son familiares en la teoría electrónica del bandgap, y tienen la propiedad usual de que una tiene una eigenfrecuencia arriba y la otra abajo, de la frecuencia central del gap. La propagación de un campo libre con una frecuencia en la región del gap es, claro, prohibido. Sin embargo, en presencia de un medio no lineal, es posible que la propagación pueda ocurrir a un cambio de fase no lineal [6]. Las bandas de energía de semiconductores exhiben grandes cambios con la temperatura a presión constante. Hay dos efectos que contribuyen a estos cambios: el Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

IV. CONCLUSIONES El estudiar el carácter electrónico de los materiales con el comportamiento químico y atómico, relacionado con las bandas de energía acerca de los orígenes atómicos del band gap nos permite clasificar a los materiales de acuerdo a la teoría de bandas en materiales conductores, semiconductores y aislantes. Podemos cambiar las propiedades de un material variando el ancho de la banda de energía, lo que provoca un cambio en el color de la luz que se producirá cuando los pares electrón-hueco se recombinen. La posibilidad de cambiar el band gap de los semiconductores por medio de la variación de las composiciones químicas de compuestos 93

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I. Rojas, César Mora y H. J. Herrera Suárez

y aleaciones, ha tenido un impacto impresionante en el desarrollo científico y tecnológico de estos materiales. La formación de las bandas de energía es importante, ya que nos permite conocer el comportamiento de los materiales desde el punto de vista de sus propiedades electrónicas, lo que nos ayuda a caracterizar y desarrollar nuevos materiales para aplicaciones más específicas, puesto que actualmente el desarrollo tecnológico y científico requiere de un conocimiento más detallado de las propiedades de los materiales modernos que permita aplicaciones más especializadas de éstos.

REFERENCIAS [1] Brown, E. (Una faceta desconocida de Einstein. Fondo de Cultura Económica, 2da. Edición, México, 1997). [2] Gribbin, J. (En busca del gato de Schrödinger, Salvat Editores, Barcelona, 1994). [3] Abragam, A., Mundo Científico 12, 952 (1992). [4] Sutton, A. P. (Electronic Structure of Materials, Clarendon Press-Oxford, New York, 1993). [5] He, H. and Drummond, D., Phys. Rev. E 54, 896 (1998). [6] Allen. P. B. and Heine, V., J. Phys. C 9, 2305 (1976). [7] Allen, P. B. and Cardona, M. Phys. Rev. B 27, 4760 (1983). [8] Lautenschlanger, P., Allen, P. B. and Cardona, M. Phys. Rev. B 31, 2163 (1985). [9] Krishnamurthy, S., Chen, A., Sher, A. and Van Schilfggrde, M., J. Electronic Matter 24, 1121 (1995). [10] Olguín, D., Cantarero, A. and Cardona, M. Phys. Stat. Sol. (b) 220, 33 (2000).

AGRADECIMIENTOS Se agradece a R. Sánchez, E. Marín y H. Luna por sus comentarios y observaciones a este trabajo. César Mora es becario EDI y COFAA-IPN, H. Herrera Suárez es becario PIFI-IPN y CONACYT, y agradece el apoyo brindado por la Universidad de Ibagué – Coruniversitaria. Este trabajo fue realizado con apoyo del proyecto de investigación SIP20071481.

Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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Descripción de la evolución del Universo: una presentación para alumnos preuniversitarios R. García-Salcedo1 y Claudia Moreno2 1

Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada-Unidad Legaria del Instituto Politécnico Nacional, Legaria #694. Col. Irrigación, CP.11500, México, D. F. 2 Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniería de la Universidad de Guadalajara, Corregidora No.500, Sector Reforma, CP.44420, Guadalajara, Jal., México. E-mail: [emailprotected]; [emailprotected] (Recibido el 10 de julio de 2007; aceptado el 26 de agosto de 2007) Resumen Uno de los temas que más atrae la atención de los alumnos preuniversitarios son los relacionados con el Universo. En este trabajo, que está dirigido a los profesores de esos alumnos, se describen las hipótesis fundamentales basadas en las observaciones astronómicas para construir un modelo del Universo. La ecuación de Friedmann, que describe la evolución del Universo, se deduce sin el uso de la teoría de la relatividad general de Einstein. De la misma forma, una ecuación termodinámica que nos ayuda a complementar el estudio de la evolución del Universo se deduce. Finalmente, se dan algunas soluciones a dichas ecuaciones para describir algunas etapas del Universo. Palabras clave: Ecuación de Friedmann, Expansión del Universo, Física Educativa.

Abstract One of the subjects that attracts the attention of the high school students are the related with Universe. In this work the fundamental hypotheses based in the astronomical observations are described to construct a Universe model. The Friedmann equation that describes the evolution of the Universe is deduced without the use of the Einstein's general relativity theory. Of the other hand, a thermodynamic equation that helps us to complement the study of the evolution of the Universe is deduced. Finally, some solutions to these equations to describe some stages of the Universe are discussed. Key words: Friedmann Equation, Expansion of the Universe, Physics Education. PACS: 01.55.+b, 01.30.-y, 95.10.-a, 98.80.-k

modelo matemático que describe la evolución del Universo que explica muchas observaciones astronómicas, entre otras su expansión y la cantidad de elementos químicos que se encuentran en el Universo actualmente. La ciencia que estudia el origen y evolución del Universo se conoce como cosmología. El modelo cosmológico más ampliamente aceptado por la comunidad científica es el modelo estándar de la cosmología [2]. Este modelo, basado en la teoría de la relatividad de Einstein, supone al Universo como un "gas" hom*ogéneo en expansión. Las componentes que constituyen este "gas" son una mezcla de radiación (ondas electromagnéticas) y de materia (polvo, cuyos granos serían las galaxias). Sin embargo, alguno de estos componentes ha predominado en ciertas etapas de la evolución del Universo, de tal forma que se habla de una época donde dominó la radiación (Universo temprano) y otra donde dominó la materia (Universo actual). Recientemente se han hecho revisiones de algunos resultados de la cosmología observacional [3,4], los cuales parecen indicar que la cosmología es aún una ciencia joven y que aún pudieran dejar abiertas las puertas para muchos otros modelos.

I. INTRODUCCIÓN El hombre desde la antigüedad, ha sentido la curiosidad por comprender todo lo que le rodea, particularmente, cada vez que miraba el cielo nocturno se preguntaba qué eran aquellos objetos brillantes que se observaban. Los griegos, hace más de veinte siglos, llamaron a estos “puntos” estrellas. También observaron que al unir las estrellas por líneas imaginarias parecían formar figuras que llamaron constelaciones. ¿Por qué las estrellas parecen estar quietas en el Universo? ¿A qué distancia se encuentran? ¿Por qué hay algunas "estrellas" que parecen moverse respecto de la mayoría? ¿De dónde se formó todo eso, incluyendo a la Tierra y al mismo hombre? En pocas palabras, ¿qué es el Universo?, ¿de qué está formado, cómo surgió, y cómo evoluciona? Muchas civilizaciones antiguas dieron respuesta a varias de estas preguntas y plantearon sus propias concepciones de cómo estaba constituido el Universo y de cómo se había formado [1]. Sin embargo, no fue sino hasta el siglo XX, con la aparición de la teoría de la relatividad de Einstein que se logró hacer un primer Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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R. García-Salcedo y Claudia Moreno

El objetivo de este trabajo es deducir, a partir de la teoría Newtoniana, las ecuaciones básicas de la evolución del Universo: la ecuación de Friedmann y la ecuación termodinámica. Asimismo, describir algunas etapas de la evolución del desde su origen (si es que lo tuvo) hasta nuestros días. Todo ello con la finalidad de presentar a alumnos preuniversitarios este tema de una forma simple y clara. Se encuentran trabajos en la literatura donde se hace una presentación similar, sin el uso de la relatividad general [5]. Tipler argumenta a favor de un análisis desde el punto de vista de la mecánica Newtoniana, como el que se presenta aquí, demostrando que ésta última es tan rigurosa como la proveniente de la relatividad general [6]. El presente artículo está organizado de la siguiente manera: En la sección II, se explicarán brevemente algunas consideraciones que se requieren para generar un modelo de Universo en expansión que reproduzca las observaciones astronómicas. En la sección III, se deduce la ecuación dinámica que gobierna la evolución del Universo, sin hacer referencia alguna a la teoría de la relatividad general, debido a su complejidad matemática; sin embargo, se deducirá desde la mecánica Newtoniana. También es necesaria una ecuación termodinámica para completar la descripción por lo que en la Sección IV se obtendrá esta ecuación y se presentan tres soluciones para contenido material en el Universo, correspondientes a distintas épocas de evolución del Universo. Finalmente, en la sección V se dan algunas conclusiones.

Universo temprano, lo cual hace evidente también la hom*ogeneidad del Universo (Figura 2). En 1933, el científico Edward Milne nombró a estas hipótesis como el principio cosmológico el cual afirma que no existe un lugar privilegiado en el Universo.

FIGURA 1. Se observa la distribución de las galaxias a distintas distancias, teniendo como centro a la Tierra [15].

II. CONSIDERACIONES BÁSICAS Entre 1928 y 1929, Edwin Hubble desde el telescopio de Monte Wilson, determinó la distancia a la galaxia de Andrómeda (la más cercana a la Vía Láctea donde orbita nuestro Sol), 700000 años luz, mediante estrellas de brillo variable conocidas como cefeidas [3]. Asimismo, usando un método conocido como escala de distancias cósmicas [8], encontró las distancias a diferentes nebulosas que resultaron ser extragalácticas. Con esto, concluyó la existencia de “universos islas” situados muy lejos de la Vía Láctea. Para determinar la velocidad que tiene una galaxia respecto de la Tierra se utiliza su corrimiento al rojo. Esta técnica consiste en observar el cambio que sufre la frecuencia de la luz (radiación electromagnética) emitida por la galaxia que llega a la Tierra. De forma similar en que la frecuencia del sonido de una sirena de una ambulancia cambia cuando se acerca o se aleja de nosotros (efecto Doppler [13]). Así que Hubble determinó que la velocidad de las galaxias y su distancia estaban correlacionadas de tal forma que mientras más alejadas estuvieran de la Tierra, más rápidamente se alejaban de nosotros. Este resultado se conoce como ley de Hubble [9] lo que significa, que después de mucho tiempo de creencias erróneas, el Universo se expande. Matemáticamente, la ley de Hubble se enuncia como:

El modelo estándar de la cosmología, conocido también como el modelo de la gran explosión (“Big Bang”) es uno de los más exitosos para explicar el origen y evolución del Universo [2,7], debido a dos de las observaciones astronómicas fundamentales que favorecen su aceptación: 1. La expansión actual del universo y, 2. La radiación de fondo de tres grados Kelvin (radiación electromagnética observada en todas direcciones del Universo, la cual esta asociada a su temperatura). Además, este modelo está basado en algunas hipótesis sobre nuestro Universo que describiremos a continuación. Se observa a distancias pequeñas que el Universo no es hom*ogéneo (tienen la misma composición en todos direcciones) ni isotrópico (no existe dirección privilegiada) debido a que cuando observamos por telescopio vemos que existen planetas, estrellas y galaxias de distintas masas en distintas direcciones. Sin embargo, las imágenes tomadas con el Telescopio Espacial Hubble (HST, Hubble Space Telescope) sobre el campo profundo (muy distantes de nuestra galaxia) muestra que el Universo si es hom*ogéneo (Figura 1) a grandes escalas, es decir, a distancias mayores que 100 megaparsec (1 megaparsec equivale a 3.2×103 años-luz y un año luz equivale a 9.46×1015 m), para mayor detalle revisar capítulo 1 de [6,7]. Por otro lado, las observaciones con el satélite COBE (Cosmic Background Explorer), muestra una isotropía en la radiación cósmica de fondo en el Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

v = Hr

(1)

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Descripción de la evolución del Universo: una presentación para alumnos preuniversitarios

influenciada gravitacionalmente sólo por la masa que se encuentra en el interior de la esfera denotada por

donde v es la velocidad de recesión (retroceso) de la galaxia, que para velocidades pequeñas está dada por cz ( c es la velocidad de la luz y z es el corrimiento al rojo), H es la constante de Hubble y r la distancia a la que se encuentra la galaxia, determinada con métodos astronómicos.

M =

4 3 ρπ r , aquí 3

es la densidad de masa del

contenido de la esfera. Así, la energía mecánica total de la galaxia de está dada por E=

1 Mm 2 mv − G 2 , 2 r

(3)

donde G es la constante de gravitación Universal de Newton. Esta energía debe permanecer constante mientras la esfera considerada se está expandiendo. De acuerdo a la ley de Hubble, esa galaxia se mueve debido a la expansión, por lo que sustituyendo la velocidad de la ecuación (1) en la ecuación (3), tenemos que: E=

1 2 2 4 mH r − π G ρ m , 2 3

(4)

que también se puede expresar como FIGURA 2. Se observa la radiación cósmica de fondo detectada por el satélite WMAP [16].

H −

megaparsec de distancia su velocidad de recesión aumenta en 500 km/s. La utilización de diversos métodos de medición de distancias y velocidades ha llevado a que este valor este cambiando [10]. El valor más actual fue proporcionado por el satélite WMAP de H0 = 73 ± 3 kms−1Mpc−1. Una forma muy sencilla de estimar la edad del Universo es a través del valor actual de la constante de Hubble. Para ello, se considera que la expansión se realiza a velocidad constante, de tal forma que r = vt . Combinando esta última expresión con la ecuación (1) se tiene que: 1 , H0

R (t ) r , R (t0 ) 0

(6)

es la proporción de crecimiento de r desde el tiempo t hasta el tiempo t0, donde r0 es la distancia medida en t0. La velocidad de expansión está dada como v=

dr R (t ) = r0 , dt R (t )

(7)

donde el punto sobre la letra significa la derivada con respecto al tiempo t. Usando esta última ecuación, la constante de Hubble puede expresarse como

(2)

H (t ) =

el cual se conoce como tiempo de Hubble. Sustituyendo el valor actual de la constante de Hubble obtenemos una edad aproximada del Universo de 12 mil millones de años.

R (t ) , R (t )

(8)

la cual se denomina parámetro de Hubble dado que depende del tiempo t. Si escribimos la ecuación (5) en términos del parámetro de Hubble, tenemos 2

H (t ) =

III. ECUACIÓN GEOMÉTRICA

8 k π Gρ − . 3 R (t ) 2

(9)

Ésta relación recibe el nombre de ecuación de Friedmann

En esta sección se deduce una de las ecuaciones que gobiernan la dinámica de nuestro Universo sin recurrir a la teoría de la relatividad general (una nota histórica sobre cómo Einstein llegó a esta teoría puede verse en [11]). El principio básico de la conservación de la energía es el que nos permitirá deducirla. La otra de estas ecuaciones es proporcionada por las propiedades termodinámicas del Universo y se deducirá en la siguiente sección. Comenzaremos por suponer que el Universo se comporta como un gas en expansión, modelado por una esfera de radio r . Consideremos una galaxia de masa m a una distancia r del centro de la esfera, como si estuviera colocada en la superficie de ésta. La galaxia es Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

(5)

Como el Universo se encuentra en expansión, las distancias entre sus componentes crecen con el tiempo. Así definimos el factor de escala de la expansión R (t ) como el factor por el cual se van expandiendo dichas distancias. De esta forma

Hubble encontró el valor actual para la constante H (que se denota como H 0 ) de 500 km/s/Mpc, es decir, por cada

8 2E . π Gρ = 3 mr 2

y k=−

2E es una constante relacionada con la energía del m

Universo en un tiempo determinado. La diferencia entre la descripción Newtoniana de este trabajo y la descripción relativista es que k describe la geometría del espacio-tiempo (una versión pedagógica sobre cosmología con el uso de la relatividad general puede verse en [12]). Cuando E = 0 , la densidad del Universo ρ toma un valor conocido como densidad crítica ρc que se obtiene al despejar ρ de la ecuación (5),

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R. García-Salcedo y Claudia Moreno

ρc =

3H 2 , 8π G

dV = d ( R ) , con R el radio de la esfera, se requiere de una

(10)

energía igual al negativo del trabajo ejercido por la presión interna, es decir -pd(R³). El cambio de energía interna del

esta cantidad puede ser evaluada en la actualidad, sustituyendo H por H0, así 2

ρ c 0 = 1.879 × h × 10

−29

gr cm3

gas es dE = dm = d ( ρ R ) . Por lo que,

2 2

H R

8π G ρ 3H

−1≡ Ω −1 ,

d 2R

(11)

(15)

=−

4 π G( ρ + 3 p) R , 3

(16)

que se le conoce como ecuación de la aceleración del Universo. Las ecuaciones (9) y (15), son las ecuaciones que nos permitirán describir la evolución del Universo; sin embargo, podemos darnos cuenta que son dos ecuaciones con tres incógnitas ρ , p y R, todas dependientes del tiempo, así que requerimos de una última ecuación. Ésta es la ecuación de estado que describe al gas, es decir, la relación entre p y ρ . En la época en que Einstein estudiaba un modelo cosmológico adecuado a las observaciones, no se sabía que el Universo se expandía, creía que era estático, es

Debido a que H 2 R2 ≥0 , existe una relación entre el signo de k y el signo de Ω − 1 que podemos resumir como k = +1 → Ω > 1,

(13)

La densidad crítica es una densidad límite que modela geométricamente nuestro Universo. Si la densidad del Universo es mayor que la densidad crítica, entonces Ω > 1 y, por tanto, se dice que nuestro Universo es cerrado ( k = + 1 ) ya que la atracción gravitacional hace que la expansión se detenga en algún momento y con ello, el Universo colapse. Si Ω = 1 , el Universo se expande, como actualmente se observa, solo que a velocidad constante y así lo hará por siempre (Universo plano, k = 0 ). Finalmente, si Ω < 1 , entonces ρ < ρ c y, por

d 2R

decir, su aceleración igual a cero,

dt 2

= 0 . Esto significa

que, de acuerdo con la ecuación (16), si la densidad media del Universo es positiva, entonces la presión media sería negativa, pm = −

ρm 3

. Esto es imposible ya que en general

vemos estrellas y galaxias compuestas de lo que se conoce como polvo y, esta ecuación de estado, corresponde a la de radiación electromagnética [13]. Considerando la densidad de energía positiva, Einstein introdujo la energía de vacío cuya ecuación de estado es p = − ρ . Esta presión

tanto, en este escenario la concentración de materia es poca lo cual hace que la expansión sea acelerada (Universo abierto, k = − 1 ). Para una descripción completa de la evolución del Universo, se hace necesaria una ecuación del comportamiento termodinámico del "gas" en expansión considerado, lo cual se deducirá en la siguiente sección.

compensaba la expansión que se observaba, de forma que el Universo se observara estático. Este mecanismo es el mismo que cuando intentamos jalar un émbolo de una jeringa sin permitir el paso de aire o algún líquido creamos un vacío en el interior de la jeringa. Se sabe que para la materia (que actualmente predomina en el Universo) conocida como polvo, la ecuación de estado corresponde a la de un gas ideal, ya que no hay interacción entre sus partículas, es decir, pm = 0 . Si sustituimos este valor de la presión en (14),

IV. ECUACIÓN TERMODINÁMICA Antes de comenzar a ver la ecuación termodinámica, se debe aclarar que utilizaremos la equivalencia entre la

vemos que la energía del interior de una esfera no cambia cuando ésta se expande, solo se distribuye en su interior. Como hemos visto, en general tenemos una ecuación de estado para el contenido del Universo en una forma simple

masa y la energía, E = mc (donde c es la velocidad de la luz en el vacío), demostrada por Einstein en 1905 como consecuencia de su teoría de la relatividad especial. Consideraremos un sistema de unidades donde c = 1 . Cuando un gas que se encuentra confinado en un recipiente esférico se expande, éste ejerce una presión sobre la superficie de la esfera que lo contiene de tal forma que para aumentar el volumen de la esfera una cantidad infinitesimal (muy pequeña) de volumen Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

dρ dR + 3( ρ + p ) =0. dt dt

Ahora, combinando las ecuaciones (9) y (15) obtenemos la siguiente expresión

siendo Ω la relación entre la densidad ρ y la densidad critica ρc , ρ Ω= . (12) ρc

k = 0 → Ω = 1, k = −1 → Ω < 1.

(14)

Reescribiendo la ecuación (14), obtenemos

siendo h la constante de Hubble en unidades de 100 km/s/Mpc. Esta densidad corresponde aproximadamente a 3 átomos de hidrógeno por metro cúbico. Otra propiedad importante de la ecuación de Friedmann se obtiene cuando escribimos la ecuación (9) como k

d ( ρ R ) = − pd ( R ) .

p = ωρ ,

(17)

donde ω es una constante independiente del tiempo. Si sustituimos la ecuación (17) en (15) obtenemos

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Descripción de la evolución del Universo: una presentación para alumnos preuniversitarios −3(1 + ω )

d ρ R = , dt R

Finalmente, mediante la resolución de las ecuaciones, se obtuvo la evolución del factor de escala, por tanto, de la densidad de energía como función del tiempo, con lo que se pudo entender que al tiempo t=0 existió una singularidad en donde dicha energía era infinita, en el caso de materia o radiación y constante si se tuviera siempre energía de vacío. Aún quedan muchas preguntas por resolver, falta hacer una descripción más precisa del Universo; sin embargo, lo que hemos visto hasta aquí, son las ecuaciones básicas mediante las cuales, nosotros podríamos sacar más conclusiones acerca de la evolución de nuestro Universo. Esperamos que estas notas, sean comprensibles para alumnos que hayan concluido una formación preuniversitaria y que esta forma de explicar la evolución del Universo los invite a seguir estudiando más en este apasionante tema.

(18)

e integrando en ambos lados, la densidad de energía evoluciona como ρ ∝ R (t ) e

−3(1+ω )

. (19) De esta forma, la densidad como función del factor de escala se expresa como 1 p= ρ 3 p=0

→

ρ ∝ R −4 ,

→

ρ ∝ R −3 ,

p = −ρ

→ ρ = constante ,

(20)

para radiación electromagnética, materia y energía de vacío, respectivamente. La ecuación de Friedmann (9) la podemos escribir, sin pérdida de generalidad como 2 2 R (t ) ∝ ρ R (t ) .

(21) Al sustituir las densidades obtenidas en la ecuación (20) tenemos que la dependencia del factor de escala y la densidad como función de t son R ∝ t1/ 2

→

R∝t

→

3/ 2

R ∝ e Ht

ρ ∝ t −2 , ρ ∝ t −2 ,

AGRADECIMIENTOS Queremos agradecer a los árbitros por sus útiles comentarios para la mejora de este manuscrito. RGS agradece a Lorena Ramírez por las útiles discusiones sobre el tema. Agradecemos a SNI-CONACyT (México). Este trabajo fue parcialmente financiado por el proyecto CONACyT J-49924.

(22)

→ ρ = constante ,

para radiación, materia y energía de vacío, respectivamente. Esto último nos dice que en el caso de Universo dominado por radiación o materia o, quizá, una combinación de ambos, la densidad tiene una singularidad al tiempo cero, es decir, la densidad de energía es infinita en el famoso "Big Bang" o gran explosión, y conforme se va expandiendo esa energía se va distribuyendo a lo largo del Universo. Como un ejercicio para el lector, se pide encontrar las expresiones de la temperatura del Universo como función del tiempo y comprobar que mientras el Universo se expande (tiempo cada vez más grande) su temperatura va disminuyendo.

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V. CONCLUSIONES Aunque todavía hace falta mucho en la descripción de nuestro Universo, en este trabajo se han explicado las consideraciones básicas en las que se debería basar cualquier modelo que pretenda describir las actuales observaciones astronómicas. Desde la mecánica Newtoniana, se ha deducido una ecuación que nos permite conocer la evolución del Universo (Ecuación de Friedmann. Estrictamente hablando esta ecuación se debe deducir formalmente de la teoría de la relatividad general de Einstein; sin embargo, la diferencia entre deducirla como se hizo en este trabajo y la relativista, es que no se tiene, de entrada, la interpretación de la energía como curvatura de un espacio-tiempo, lo cual es muy evidente en la teoría de Einstein [12,14]. También de forma muy simple se dedujo la ecuación termodinámica que gobierna el Universo, considerando tres tipos principales de formas de energía que pudiera contener: radiación, materia y de vacío. Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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Francisco Javier Estrada, el físico mexicano más notable y olvidado del siglo XIX J. R. Martínez1,2 1

Facultad de Ciencias y Departamento Físico-Matemático, Universidad Autónoma de San Luis Potosí, Álvaro Obregón 64, 78000 San Luis Potosí, S. L. P., México. 2 Museo Casa de la Ciencia y el Juego, Madero 446, Centro Histórico, 78000 San Luis Potosí, S .L. P., México. E-mail: [emailprotected]; [emailprotected] (Recibido el 9 de agosto de 2007; aceptado el 28 de agosto de 2007) Resumen Las importantes y abundantes contribuciones a la física y en especial al electromagnetismo de Francisco Javier Estrada, muchas de ellas desconocidas, lo colocan no sólo como el primer electricista mexicano, como fue conocido años después, sino como el físico mexicano más notable del siglo XIX. Estrada logró contribuir de manera importante en la formación científica de personalidades que, dedicándose posteriormente a la medicina, a la ingeniería, a la farmacia y a la química, tuvieron un destacado protagonismo científico dictando el carácter intelectual que caracterizó al San Luis de fines del siglo XIX y comienzos del siglo XX. En el presente trabajo nos centraremos en la figura y aportaciones que a la física realizó Francisco Javier Estrada Murguía, y adelantaremos algunos apuntes a la enseñanza de la física en cuanto a sus actividades en la cátedra de física del Instituto Científico y Literario de San Luis Potosí. A fin de proporcionar datos e impresiones de la comunidad intelectual, científica y popular de la época reproducimos en el texto las notas aparecidas en los periódicos de la época referentes al trabajo, personalidad y aportaciones de Francisco J. Estrada. Palabras clave: Historia de la Ciencia, Tributo a Personaje, Construcción de Equipos.

Abstract Francisco Javier Estrada is known as the first Mexican electrician due to his important, relevant and great quantity contributions to the physics in particular to electromagnetism. His work situates him as the main Mexican physicist of the nineteen century. The scientific formation of people that contributed to medicine, engineering, chemistry and pharmacy, fact that characterizes the intellectuality of the end of nineteen century and beginning of twenty century in the city of San Luis, was educated by Estrada. In this work, we focus on the contributions to the physics of Francisco Javier Estrada and we give details about the teaching of physics as titular in the cathedra of physics in the Scientific and Literary Institute of San Luis Potosí. In order to give dates and opinions of the intellectual, scientific and popular community, we reproduce journalistic notes about his work, contributions and personality of Francisco J. Estrada. Key words: History of Sciences, Biographies, Construction of devices.

PACS: 01.65.+g, 01.60.+q, 07.07.-a

ISSN 1870-9095

más brillantes de la época, y comenzó a ser conocido como el primer electricista mexicano. El rescate de su trabajo brindará importantes contribuciones al estudio de la historia de la física en México y particularmente a la enseñanza de la física. El joven Estrada logró contribuir de manera importante en la formación científica de personalidades que, dedicándose posteriormente a la medicina, a la ingeniería y a la misma farmacia, carreras que comenzaron a ofrecerse al final de la segunda mitad del siglo XIX en el Instituto Científico y Literario de San Luis, tuvieron un destacado protagonismo científico dictando el carácter intelectual que caracterizó al San Luis de fines del siglo XIX y comienzos del siglo XX. El conocer cómo se realizaban las experiencias y demostraciones en física y qué tipo de contenidos se trataban hace más de cien años, resulta de vital

I. INTRODUCCIÓN En 1868, ante la salida de las tropas francesas de San Luis Potosí, al triunfo de la República, se reinstauró el Instituto Científico y Literario de San Luis Potosí, en el edificio que cuatro años antes había sido ocupado por el ejercito francés, edificio que fuera el Colegio Guadalupano Josefino años atrás. Con la reinstauración del Instituto se creó la cátedra de física, misma que fue encargada a un joven potosino que recién se graduaba en Farmacia en la Ciudad de México y que había mostrado dotes interesantes para el trabajo práctico; había realizado estudios de física en la Escuela Nacional de Medicina. El joven farmacéutico comenzó a adentrarse en los intrincados temas de física y en poco tiempo se convirtió, no sólo en un excelente profesor de física, sino en uno de los físicos mexicanos Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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importancia tanto para la historia de la ciencia como para su didáctica. En esa época, como tal, no existían físicos de formación, habría que recordar que a mediados del siglo XX comenzaron a crearse las carreras de física y que en particular en San Luis Potosí en 1956 se creó la tercera escuela de física en el país. Por otro lado, en las instituciones llamadas científicas, prácticamente no se realizaba trabajo de investigación científica. En tales condiciones, la práctica de la física desde el México colonial fue esporádica y resultado de las inquietudes individuales de algunas mentes lúcidas [1]. Especial mención merece la fundación del Real Seminario de Minería en 1792, que fue la primera escuela técnica establecida en el Nuevo Mundo; en ella se instalaron los primeros laboratorios científicos modernos de México, de física, de química y de mineralogía principalmente, y se proporcionaron facilidades para la realización de trabajos de investigación experimental. A uno de sus catedráticos, Francisco Antonio Bataller y Ros, se debe la redacción en 1802 del primer texto escolar de física mexicano, Principios de física matemática y experimental. En el presente artículo nos centraremos en la figura y aportaciones que a la física realizó Francisco Javier Estrada Murguía, nuestro farmacéutico en cuestión y adelantaremos algunos apuntes a la enseñanza de la física en cuanto a sus actividades en la cátedra de física del Instituto Científico y Literario de San Luis Potosí. Por ejemplo, del material revisado en cuanto a los instrumentos del gabinete de física del siglo XIX, que formó el propio Estrada, podemos encontrar que la enseñanza de la física se centraba en cuestiones experimentales, la enseñanza era explicativa y descriptiva y menos teórica y matemática que en la actualidad. A fin de proporcionar datos e impresiones de la comunidad intelectual, científica y popular de la época reproducimos en el texto las notas aparecidas en los periódicos de la época referentes al trabajo, personalidad y aportaciones de Francisco J. Estrada, hijo.

1861, regresó a San Luis y se hizo cargo de una farmacia de otro ilustre personaje de la ciencia, Florencio Cabrera, la Botica de El Refugio. Luego de trabajar durante un tiempo como encargado de la botica Estrada se apasiona por la física y muestra aptitudes para el trabajo experimental y práctico. Los encargados de la reapertura del Instituto no dudaron en nombrar a Estrada como titular de la cátedra de física. Francisco Javier Estrada recién titulado como farmacéutico presencia la llegada a San Luis de las primeras tropas imperialistas, al finalizar el año de 1863. Con tal motivo era ocupado el edificio del Instituto para cuartel y hospital de las tropas francesas. Sufre la casa de estudios una clausura por tres años. Pero con el advenimiento de la República en 1867, se trató de fundar planteles de educación, organizándose entonces la reapertura del Instituto. Entre las cátedras que ofrecía el nuevo Instituto se encontraba la cátedra de física. En 1868 Estrada se hace cargo de la cátedra de física. A partir del año en que asume la cátedra, es cuando empiezan a aparecer en diarios y revistas especializadas los primeros trabajos, estudios, artículos científicos e invenciones suscritos por Estrada. Las primeras concepciones sobre electricidad, aunque no alcanzaron el éxito deseado según él lo manifestó con ingenua sinceridad, fueron sin embargo bastante notables y llevaron grabados el sello de originalidad que es propia de los grandes talentos superiores, cuyas obras, aunque no responden siempre al resultado que se busca, dejan generalmente abierta una posibilidad que puede conducir, con el tiempo, a la obtención de verdaderos y sólidos principios. No sólo teorizaba en la cátedra, sino que se preocupó de dotarla de un surtido número de aparatos físicos, lo cual se constata al ver que en el año de 1871, Estrada gestionaba ante el gobierno local la traída de Europa de 28 instrumentos y aparatos para dotar el Gabinete de Física, además de que él mismo construyó 16 instrumentos para el mismo gabinete. Gestiones encaminadas a tal fin realiza años más tarde, (1878), ante el Sr. Gral. Diez Gutiérrez, Gobernador del Estado de San Luis Potosí, logrando que se hiciese un pedido a París de nuevos aparatos e instrumentos para el referido Gabinete de Física. El telégrafo se convertía en el medio de comunicación, Estrada no tardó en estar trabajando en variaciones a los sistemas de transmisión, su habilidad práctica le permitió familiarizarse con la electricidad y en poco tiempo montaba su propio laboratorio en donde construiría una gran variedad de aparatos y mejoras a aparatos de uso común. Está reportado que en 1868 recién abierto el Instituto Científico y Literario de San Luis Potosí, Estrada desarrolló una máquina dinamo-eléctrica, o dínamo que se hizo funcionar como motor eléctrico, delante de un concurso de personas respetables de la ciudad, el día 20 de agosto de 1868 [3,4,5,6,7,8,9]. Esta máquina se mandó construir a la casa de Breguet, en Francia, en 1869, remitiéndose dos veces los dibujos y explicaciones; pero en ningún caso se obtuvo contestación. Más tarde apareció en la exposición de Viena, en 1873, la misma máquina con

II. DE FARMACÉUTICO A FÍSICO Francisco Javier Estrada nació el 11 de febrero de 1838, realizó sus primeros estudios en San Luis Potosí, para posteriormente trasladarse a proseguirlos a la Ciudad de México; en 1854, a los 16 años, ingresa al Colegio de San Ildefonso y cursa el primer año de bachillerato. Posteriormente se inscribe en la carrera de farmacia. De pequeño, Estrada concurrió a la escuela principal Lancasteriana en el año 1846 en que se hacia cargo de la misma el competente profesor Don Pedro Vallejo [2]. Veintidós años contaba el joven Estrada, en 1860, cuando daba cima a sus estudios en la carrera de farmacia, faltándole tan sólo el examen recepcional para titularse de Profesor en dicha carrera. En noviembre de ese año lo recibe su ciudad natal con sus calles henchidas de silencio y con su pétrea e inmutable fisonomía. En los primeros meses de 1861 se titula Estrada de farmacéutico. Al terminar sus estudios de Farmacia en la Escuela Nacional de Medicina en la ciudad de México en el año de Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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el nombre de dinamo eléctrico de Gramme, y con sólo la diferencia de que ésta era de eje horizontal y el modelo que se envió era de eje vertical. De ahí se repartió la invención a todos los países civilizados, haciendo la fortuna de muchos fabricantes. Irónicamente, años más tarde, el Gobierno de San Luis Potosí mandaba traer una máquina de Gramme para el alumbrado eléctrico, misma que en su momento fue donada al gabinete de física del Instituto Científico de San Luis a petición del propio Francisco Estrada, según se menciona en el informe anual de 1885 de la Junta de profesores del Instituto y que transcribe el periódico La Unión Democrática [10]. A solicitud del Ciudadano Farmacéutico Francisco Estrada, Catedrático de Física de este Establecimiento, el Ciudadano Gobernador hizo que pasaran al gabinete de esta cátedra, las máquinas de Gramme y reguladores que servían anteriormente para el alumbrado eléctrico, lo cual ha venido a aumentar el número de importantes aparatos que ya posee la expresada cátedra. Extenso sería el catálogo de todos sus trabajos si llegara a formarse, ya que no todos ellos fueron dados a la luz pública, pero es más que suficiente para formarse un juicio sobre la genial fecundidad del personaje que nos ocupa, los siguientes que se consignaron en diversas publicaciones del país y del extranjero – principalmente en Estados Unidos y Francia – con los títulos que a continuación se describen [11]:

(pseudónimo y anagrama de Francisco Javier Estrada) el día 9 de octubre de 1895. 14. Nuevo sistema de comunicación eléctrica, entre los telégrafos de las vías férreas y los trenes en movimiento. 15. Cadena eléctrica de Farneci d Astracco (otro pseudónimo de Francisco Javier Estrada). 16. Balanza geológica electromagnética o nuevo instrumento para estudiar los fenómenos geológicos electro-magnéticos del interior de la tierra y sirve también como medio de vaticinar los temblores y erupciones volcánicas. El autor pretendió que este trabajo se imprimiese en varios idiomas en Europa y en los Estados Unidos; mas no lo logró por falta de recursos propios. El gobierno potosino lo mandó imprimir por su cuenta en español; pero se vedó su circulación hasta que no se hubiesen obtenido las patentes respectivas, cosa que solicitó el Sr. Estrada al Gobierno Mexicano, en el mes de febrero de 1895, acompañando al estudio respectivo una descripción detallada de dicho invento. 17. Nuevo micrófono o transmisor a gran distancia y un nuevo sistema de transmisión telefónica con reformas en los teléfonos y nuevas disposiciones en las líneas para gran alcance. Aparte de los aparatos que construyó son incontables los estudios, disertaciones y tesis que sobre diversos asuntos publicó [11]: Disertación sobre el teléfono. Predicción de los temblores de tierra y erupciones volcánicas. El cólera y las moscas o sea la propagación de esta epidemia por estos insectos. Previsión o idea nueva y original imitada por Farnesi d Astraco. Las moscas son insectos propagadores del cólera: verdad enteramente comprobada por célebres bacteriologistas tales como Stemberg y Biggs, con motivo de la última invasión del cólera en Nueva York. Opinión que va de acuerdo con otros bacteriologistas europeos. Saneamiento de la ciudad de México. Revista de algunos proyectos propuestos al H. Ayuntamiento. Procedimiento electro-dinámico moderno, propuesto por Francisco J. Estrada. Igualmente fueron numerosos los trabajos inéditos que dejó el ilustre hombre de ciencia potosino [11]: • Receptor rápido polarizado de sifón. Instrumento inventado en el año de 1883 y enviado a París y los Estados Unidos sin haber podido ser presentado. • Reóstata diferencial de resistencia variable. Instrumento eléctrico inventado en 1887 y enviado a París y Estados Unidos, corriendo la suerte que el anterior. • Aplicación de los agentes físicos, muy especialmente de la electricidad a la estrategia militar y al arte de la guerra. Procedimientos nuevos y secretos. Los títulos anteriores tomados de las publicaciones periódicas de la época, si bien dan una idea de lo extenso y productivo de su trabajo, no reflejan del todo la calidad e importancia de los mismos. A fin de ampliar este punto destacamos a continuación algunos puntos de vital importancia. Francisco Javier Estrada, impulsaba la comunicación telefónica entre México y San Luis, una de las más grandes distancias de comunicación logradas en ese

1. Nuevo Instrumento para medir la electricidad. 2. Empleo de los rayos solares como fuerza motriz. El presente trabajo apareció después en Francia bajo el nombre de otro autor. 3. Máquina de vapor sin fuego; empleando el hielo en sustitución del combustible. 4. Explicación del movimiento del radiómetro de Crookes en gases enrarecidos. 5. Nuevo telégrafo impresor mexicano: 3 modelos. Este telégrafo lo vieron funcionar el C. Ministro de Fomento Vicente Riva Palacio, el C. Gobernador del Estado, Gral. Carlos Diez Gutiérrez y otras muchas personas. 6. Varios sistemas nuevos de transmisión telegráfica Duplex. 7. Pequeña lámpara de incandescencia. 8. Nuevo manipulador de teclado para alfabeto Morse. 9. Reformas hechas al telégrafo autográfico Cowper. 10. Sistemas diversos de transmisión Duplex. Este estudio en que se proponen reformas al telégrafo autográfico de Cowper existe manuscrito en el entonces Ministerio de Fomento. 11. Piano eléctrico inventado y descrito en 1878. 12. Predicción de los temblores de tierra y erupciones volcánicas, verificados con el auxilio del teléfono. Esta nueva aplicación del teléfono apareció después como idea propia y primitiva de un físico italiano, que copió lo expuesto por el Sr. Estrada en el órgano periodístico el “Correo de San Luis”, del 4 de marzo de 1883. 13. Lámpara de gas de manto incandescente o fotoradiante. Privilegio pedido por este nuevo sistema al Ministerio de Fomento por Jonás Arva Edisson Ferratecci Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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momento en el mundo, pudiendo realizar tal cosa el 20 de enero de 1882, utilizando para ello nuevos instrumentos reformados por él mismo para grandes distancias. La prensa nacional daba cuenta de tan importante logro al anunciar: Comunicación telefónica directa entre México y San Luis Potosí, realizada el 20 de enero de 1882 con los nuevos instrumentos reformados para gran distancia por Francisco J. Estrada, notas publicadas en periódicos del país [12,13,14,15]. En 1886, Estrada patenta la comunicación inalámbrica para comunicar trenes en movimiento, descubierta nueve años antes que Marconi [16]. Estrada tuvo, en parte, el enorme orgullo de ver triunfantes los principios y las ideas geniales que agitaron su recia intelectualidad de hombre avezado al estudio, y sus esfuerzos en bien de la humanidad por darle una vida más cómoda y más prospera. De esto tenemos un elocuente y cumplido testimonio cuando nos enteramos que gracias a él, por primera vez en todo el Continente, se encendió la primera luz eléctrica de arco, precisamente en el patio de la actual Universidad Autónoma de San Luis Potosí, con motivo de una jamaica (evento o venta de caridad para reunir dinero) organizada con fines benéficos. La mayoría de los trabajos mencionados, Estrada los desarrolló cuando había sido atacado, a los treinta años de edad, de ataxia locomotriz, lo cual lo dejó prácticamente ciego y paralítico; a pesar de ello, no interrumpió sus trabajos, que lo llevaron a ser miembro de la Academia de Ciencias de París. A pesar de ser atacado de ataxia locomotriz, se ganó a pulso el título de primer electricista mexicano al tener contribuciones brillantes a la física [17]. Extensa sería la lista de trabajo y aparatos realizados y fabricados por Estrada, como puede observarse en las descripciones a su trabajo anteriores, entre ellas podemos mencionar además [17]: dos aparatos telegráficos impresores, un barómetro automático de máxima y mínima, varios sistemas de galvanoplastia, cuatro aparatos de transmisión simultánea, una muy notable modificación al teléfono de Bell, un motor dinámico eléctrico, por el que mereció un diploma de la sección de ciencias físico-químicas del Ministerio de Fomento de Estados Unidos, un aparato para medir la velocidad de las corrientes eléctricas, tan preciso que medía hasta un milésimo de segundo, y lo que es mucho más importante la telegrafía sin hilos, antes de que la descubriera Marconi. Como consecuencia de esto último Estrada solicitó un privilegio para utilizar la comunicación inalámbrica para comunicar trenes en movimiento, según aparece en el Periódico Oficial del Estado de San Luis Potosí [16]:

“Porfirio Díaz. Presidente constitucional de los Estados Unidos Mexicanos, a sus habitantes sabed: “Que en virtud de la facultad que me confiere la fracción XVI del artículo 85 de la Constitución, he tenido a bien decretar lo siguiente: “Artículo único.-De conformidad con lo prevenido en la ley de 7 de Mayo de 1832 y en su reglamento de 12 de Julio de 1852, se concede privilegio exclusivo por diez años al C. Francisco Javier Estrada, por su sistema para comunicar un tren de ferrocarril en movimiento, con las oficinas telegráficas. El interesado pagará veinte pesos por derecho de patente. “Por tanto mando se imprima, publique, circule y se le dé el debido cumplimiento. “dado en el Palacio del Poder Ejecutivo de la Unión en México a 12 de Junio de 1886.-Porfirio Díaz.- Al C. Manuel Fernández, Oficial mayor encargado de la Secretaría de Estado y del despacho de Fomento, colonización, industria y comercio.” Y lo comunico a ud. para su conocimiento y demás fines. Libertad y Constitución. México. Junio 12 de 1886.—P.a. d.S., M. Fernández. Oficial mayor.- Al Gobernador de San Luis Potosí.” Por tanto, mando se cumpla y ejecute el presente decreto y que todas las autoridades lo hagan cumplir y guardar, y al efecto se imprima, publique, circule y se le dé el debido cumplimiento. Palacio de Gobierno del Estado de San Luis Potosí. a 21 de Julio de 1886.-Carlos Diez Gutiérrez.-Juan Flores Ayala, Secretario.” En 1877, Estrada había desarrollado su telégrafo impresor, y dado a conocer en la prensa nacional, misma que lo conminaba a ocurrir al Ministerio de Fomento a registrar su aparato. En ese tiempo Estrada se encontraba prácticamente ciego y simplemente al tacto arreglaba y construía su telégrafo impresor, situación que hacía más notable su labor. En el “Mensajero” aparecía [18]: “Satisfacción y sorpresa nos han causado saber que es un hecho en la práctica el pensamiento de los telégrafos impresores conocidos hasta hoy. Del de Hughes, porque evita su complicación mecánica; y del francés, porque no está expuesto a las frecuentes descomposturas. El telégrafo del Sr. Estrada basado en nuevas aplicaciones de los principios del electro-magnetismo hasta ahora conocidos, reúne a la sencillez de mecanismo, solidez y velocidad en el despacho de los mensajes, que se imprimen simultáneamente en la estación final y en la partida. Su uso está al alcance de todas las personas que sepan escribir. Un niño, con estos rudimentales conocimientos puede hacerlo funcionar; pues lo que mas llama la atención, lo que es una positiva mejora, lo que indudablemente lo hará ocupar un lugar preferente en las oficinas telegráficas, es la velocidad con que funciona, pues manejada por una persona experta, discrepa un cuarto del tiempo que emplea el de Morse. Felicitamos sinceramente al Sr. Estrada, no solo por su notable invento, sino por su última mejora, que ha

“Carlos Diez Gutiérrez Gobernador Constitucional del Estado Libre y Soberano de San Luis Potosí, a sus habitantes sabed: Que por la Secretaría de Fomento, colonización, industria y comercio se me ha comunicado lo siguiente: “Secretaría de Fomento, colonización, industria y comercio de la República Mexicana.-Sección 2a. El Presidente de la República se ha servido dirigirme el decreto que sigue:

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realizado, estando ciego y paralítico, según se nos informa. Llamamos la atención del Sr. Ministro de Fomento, para que inquiriendo la verdad sobre lo que dejamos asentado, estimule al físico de San Luis, a efecto de que su invención salga del reducido espacio del gabinete experimental, y conocido en el mundo científico, lo introduzca a la utilidad general, y a la propia en que sin duda redundará.”

manejo y por sus efectos acústicos, de los cuales llama la atención la circunstancia de escucharse la voz transmitida a más de tres o cuatro metros de distancia, sin necesidad del teléfono auricular, cuando dicha voz se transmite por un instrumento especial de la invención del Sr. Estrada.” En 1879 colaboraba con la Secretaría de Fomento y con el Gobierno del Estado en el establecimiento del Observatorio Meteorológico que se instalaba en el Instituto Científico y Literario, poniéndolo en relación directa con el de México; y no sólo esto, sino que ideaba aparatos para tales finalidades [11]. A partir de esta colaboración, Estrada entró en comunicación con Mariano Barcena del Observatorio Meteorológico Central a quien envió uno de sus trabajos relacionados con telegrafía. La Unión Democrática, publica la carta de respuesta de Mariano Barcena, donde se hace referencia a una nueva revista de corte científico, la Revista Científica Mexicana [21]:

Sus esfuerzos se veían coronados al desarrollar un nuevo sistema telefónico que superaban a los existentes en todo el mundo y alcanzaba distancias nunca antes cubiertas, tal como puede apreciarse en una carta enviada al Ministerio de Fomento y que publicó el periódico “Nacional” de México y que reprodujo el diario oficial de San Luis “La Unión Democrática” [19]. “Ciudadano Ministro de Fomento: Francisco Estrada, hijo, catedrático de física en el instituto de esta ciudad, ante usted, en la forma legal, me presento manifestando: que después de algunos años de experimento y estudio, he logrado combinar un nuevo sistema de transmisión telefónica que permita la comunicación a distancias mucho mayores de las que alcanzan actualmente y por los medios ordinarios. Los principales fundamentos del sistema son: 1°. El uso de un nuevo micrófono ó transmitidor que produce un aumento en las variaciones de resistencia al paso de la corriente, traduciéndose de este modo en el Teléfono receptor, por mayor claridad en los sonidos. 2°. Una disposición particular en las comunicaciones eléctricas que permite el refuerzo a la corriente de línea de una inducida de caracteres particulares. 3° Una reforma en el Teléfono receptor que le da mayor sensibilidad procurando la adición de unas piezas y mayor facilidad en la percepción del sonido. Acompaño, al efecto, por duplicado, las explicaciones y dibujos respectivos que dan una idea detallada de las referidas bases. Creyendo que cada una de éstas constituye por sí sola una mejora sobre los métodos de transmisión empleados hasta hoy, me atrevo por ello, a solicitar de quien corresponda, un privilegio por el tiempo que la ley pueda concederme, para el uso del nuevo sistema que llevo mencionado. Por tanto, a usted ciudadano Ministro, suplico se sirva dar a mi solicitud el curso que la ley designa, con lo que practicará un acto de justicia, y recibiré en ello especial favor. Libertad en la Constitución. San Luis Potosí, Junio 16 de 1881.-Francisco Estrada (h.)-Una rúbrica”

“El Sr. Francisco Estrada (hijo). Este digno hijo del Estado, bien conocido en la república de las letras por su inquebrantable dedicación al estudio de las ciencias naturales, ha encontrado el sistema de duplicar la corriente eléctrica, pudiéndose por un solo conductor, librar y recibir mensajes telegráficos. Escrita sobre la materia su bien probada tesis, la remitió al Observatorio Meteorológico Central y el acierto con que está hecho este notable trabajo, mereció a su autor una distinción honorífica según consta en la carta que a nuestras instancias nos ha sido facilitada, y que publicamos a continuación, por entrañar su contenido la justa honra de que también participa nuestro Estado. He aquí la carta. “Observatorio Meteorológico Central.México, Septiembre 12 de 1879.- Sr. D- Francisco Estrada, (hijo).- San Luis Potosí.- Estimado amigo y Sr. mío:- Tuve el gusto de recibir el pliego que adjuntó vd. a su apreciable de fecha 5 del corriente. Después de estudiado atentamente, me permití leerlo ante la sociedad de Historia Natural, en la sesión de anoche. Fue escuchada la lectura con grande interés, y al concluirla fue vd. nombrado miembro honorario de dicha sociedad, dispensándose a la postulación todos los trámites reglamentarios, siendo esta una honra que rara vez concede la sociedad. En cuanto al importante trabajo de vd. se publicará, no en un periódico político sino en uno exclusivamente científico, que con el nombre de Revista Científica Mexicana comenzará a dar a luz, desde principios de Octubre, en unión de los Sres. D. Manuel Orozco y Berra, D. Antonio García y Cubas y D. Miguel Pérez mi compañero de observatorio. Como vd. se dedica mucho a la ciencia, pongo desde hoy a su disposición las columnas de mi periódico, esperando que vd. se servirá honrarle frecuentemente con sus trabajos. Mucho agradecería que me remitiese, si le es posible, una lámina que represente el aparato, a que se refiere vd. en su trabajo, a fin de ilustrarlo al ser publicado.

El 26 de diciembre de 1883, el Periódico Oficial del Estado, La Unión Democrática, publicaba la concesión del privilegio concedido a Francisco Estrada [20]: “…Lo ha obtenido del Gobierno general nuestro notable electricista, el Sr. Francisco Estrada, hijo, para su comunicación telefónica. Consideramos importante la justa concesión hecha al Sr. Estrada, pues sus aparatos telefónicos de los cuales tiene colocados algunos, son superiores a los conocidos, por su sencillez, por su fácil Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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Me es muy grato ofrecerme con este motivo tan plausible como su amigo afectísimo q.b.s.m. Mariano Barcena, director.”

hombres de la ciencia la han bautizado con el nombre de “phytolacsa eléctrica”. La zona en donde se ha descubierto está comprendida entre los diez y doce grados de latitud Norte, zona que abunda en vegetales raros por sus propiedades botánicas y medicinales y de las que con frecuencia se descubre en los vegetales que espontáneamente crecen en nuestro feraz territorio. Esta circunstancia hace creer que sería posible que la “phytolacsa eléctrica” creciera en algunos puntos de nuestras cálidas costas, con más probabilidades quizá en las que baña el Golfo de Mexicano. Si los estudiosos botánicos que han recorrido en distintas direcciones nuestra tierra caliente, hubiesen encontrado algún vegetal en que sospecharen propiedades tan interesantes, harían un positivo, servicio a la ciencia suministrando las noticias que tuvieren respecto de la existencia en nuestro país de la nerviosa planta que tanto ha llamado la atención. En este supuesto y lograda su adquisición serían indemnizados de los gastos que para ello erogaren así como de los que ocasionare su transporte a esta Capital. Las contestaciones pueden dirigirse al que suscribe en el Instituto Científico. San Luis Potosí, Abril de 1878.- Francisco Estrada (hijo).”

Estrada seguía compartiendo el tiempo en sus investigaciones en electromagnetismo, la impartición de la cátedra de física, y su trabajo como farmacéutico pues continuó haciéndose cargo, ahora, de su propia farmacia; en el periódico oficial del Estado, aparecía en la lista de la junta de salubridad de médicos, cirujanos, farmacéuticos, flebotomianos y parteras, residentes en la ciudad y legalmente autorizados para ejercer la profesión, con la expresión de las escuelas donde han hecho los estudios. Igualmente aparece en un reporte que los miembros de la junta visitadora realizaron a su botica en 1877. Ya retirado de la cátedra de física, en 1887, le fue concedido un nuevo privilegio por su procedimiento para fabricar y envasar vinos espumosos y licores alcohólicos efervescentes. Por si fuera poco fue electo, en 1871, como Magistrado del Supremo Tribunal de Justicia del Estado como supernumerario y en 1876 como suplente. Para 1879, Estrada había diseñado nuevos aparatos para telegrafía y además de ilustrar a sus alumnos en la cátedra de física sobre los fundamentos y el uso de los mismos, comenzó a ofrecer cursos para aprender la utilización de los nuevos aparatos así como los aparatos de uso común en comunicación telegráfica en ese entonces. Para tal efecto publicitó sus cursos para señoritas en los periódicos locales, uno de ellos decía.

Los trabajos de investigación en física que realizaba Estrada, eran llevados al aula y aprovechados para las demostraciones de la cátedra. Hay que recordar, como lo mencionamos anteriormente, que las clases eran descriptivas y demostrativas, por lo que en el campo del electromagnetismo su cátedra se veía enriquecida por sus experimentos. Algunos de sus aparatos fueron cedidos al gabinete de física para su utilización en la cátedra de física. Una muestra de lo anterior lo tenemos en una nota publicada en La Unión Democrática [24]:

TELEGRAFÍA ELÉCTRICA

“El día 15 del corriente se abrirá en la casa del que suscribe, y bajo su dirección, una cátedra teórico-práctica del expresado ramo para señoritas exclusivamente. La clase, que será gratuita, se dará los martes, jueves y sábados de 5 a 6 de la tarde. Las inscripciones se reciben en la misma casa, calle de Tercer Orden, núm. 3. San Luis Potosí, Enero 5 de 1879.-FRANCISCO ESTRADA (H)."

“Tengo el honor de poner en conocimiento de V. para que se sirva elevarlo al del ciudadano Gobernador, que en esta fecha he entregado al C. Director del Instituto Científico según consta por el recibo que acompaño, dos aparatos electromagnéticos que sirvieran para experimentos sobre la transmisión telegráfica simultánea, y que convenientemente arreglados según ofrecí, quedan al servicio del Gabinete de Física del espresado (sic) establecimiento. Al dar cuenta al R. Funcionario con esta nota, he de merecer a V. se sirva manifestarle mi profundo agradecimiento, por haber proporcionado los medios de experimentación para un objeto tan útil que constituye por el solo un adelanto en las líneas telegráficas, y cuya adopción en ellas espero del Gobierno de la Federación de quien depende sean publicados los dos sistemas nuevos á que me refiero en comunicación que por separado dirijo al Ministerio de Fomento. Sírvase V aceptar con este motivo las seguridades de mi particular aprecio y consideración. Independencia y Libertad, Octubre 22 de 1879.-Francisco Estrada (h).- Al Secretario de Gobierno del Estado.”

De esta forma, Estrada combinaba sus trabajos y para tal efecto establece su propio laboratorio donde había sentado sus reales y experimentaba con el electromagnetismo y la química. Sin embargo, el electromagnetismo fue su pasión, y en el que tuvo las grandes contribuciones no siempre reconocidas, aunque para el núcleo de radioaficionados, miembros de la Federación Mexicana de Radioescuchas es considerado el padre de las telecomunicaciones modernas, en realidad título ganado a pulso y que al menos constituye un reconocimiento a su labor [22]. Estrada publica una pequeña nota en La Unión Democrática de San Luis Potosí refiriéndose a una nueva planta que presentaba propiedades eléctricas y magnéticas, y conminaba a los estudiosos de la botánica cualquier referencia a tan extraordinaria planta, la nota es la siguiente [23]: “Se ha encontrado en las regiones ecuatoriales una planta que goza de propiedades sumamente raras, pues participa de las de la electricidad y el magnetismo. Algunos Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

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Francisco Javier Estrada, el físico mexicano más notable y olvidado del siglo XIX

Francisco Javier Estrada se convirtió en uno de los más respetados profesores del Instituto, no sólo por sus importantes contribuciones a la Ciencia, sino por su brillantez como profesor y titular de la cátedra de física. Al estar casi ciego y paralítico debido a la ataxia locomotriz que padecía, los estudiantes se trasladaban a su casa para tomar sus lecciones de física y apreciar las demostraciones físicas que realizaba con sus equipos, así como con los instrumentos del gabinete de física que Estrada había estado formando con ayuda de su preparador de la clase de física Francisco A. Noyola. En 1878 aparece en la Unión Democrática el reporte de faltas de asistencia de catedráticos del Instituto, al final de la nota se indica que no se menciona en el reporte a Francisco Estrada (hijo) y Francisco Limón, por dar las clases en sus casas [25]. Cuando era necesario que Francisco Estrada se trasladara al Instituto era llevado cargado por sus estudiantes hasta la planta alta del edificio del Instituto donde estaba colocada el aula y gabinete de física, así sucedió hasta el 6 de febrero de 1886 en que fue retirado de la cátedra ante la oposición de sus alumnos, por su imposibilidad física, mismos que publicaron una carta el 14 de febrero de 1886 en El Estandarte, pidiendo el regreso de Estrada a la cátedra [26]. Tan estimado era por sus alumnos que, a lo largo de los años recopilaron toda una lista de sus trabajos, y las menciones a los mismos que aparecían en los periódicos de la época que se editaban en el país. La lista de datos referentes a las invenciones, trabajos, artículos y disertaciones suscritos por Estrada, fue pegada en la parte posterior de su retrato que fue colocado en el salón en el que profesó cátedra y, a partir de 1908, llevó su nombre en un homenaje póstumo que se le brindó en el edificio del Instituto. El título de la lista en cuestión es como sigue:

“El periódico El Liberal, quizá el más importante que se publica en la capital de la República, en uno de sus últimos números, trae el párrafo que a continuación copiamos. Lo es á todas luces una que acaba de presentar á la Legislatura de San Luis Potosí el Gobernador de aquel Estado. Se trata pues, de que se decrete una pensión vitalicia de seiscientos pesos anuales a favor del Sr. Don Francisco Estrada. El Sr. Estrada fue uno de los educadores mas empeñosos y distinguidos de la juventud potosina, y es además un sabio de primer orden que ha llamado la atención de las sociedades científicas extranjeras que tienen en gran estima sus vastos conocimientos. Hoy vive este sabio ilustre, ciego, paralítico y en la miseria. Parece justo que se le atienda, y sin duda que así lo hará la Legislatura potosina, decretando la pensión iniciada por el Ejecutivo de aquel Estado.” Después de dejar la cátedra de física, continúa trabajando en sus investigaciones en electromagnetismo y se traslada a la Ciudad de México donde vive prácticamente sólo y abandonado hasta su muerte en 1905. En el discurso pronunciado la noche del día 14 de octubre de 1908, en el Instituto Científico y Literario, con motivo de una velada en honor de Francisco Estrada (h.) y Dr. Gregorio Barroeta, Francisco Noyola preparador de la clase de física que impartía Estrada en el discurso de velada de colocación de piedra y retrato en el aula en el Instituto, ahora Universidad Autónoma de San Luis Potosí, se refería a sus últimos momentos [28]: “... y decidme también si no pensáis que el ángel tutelar que protege a los Edison y a los Marconi, no vibró alguna vez sus alas fecundantes acariciando el cerebro del modesto sabio potosino, que hasta en las últimas horas de su vida, inventaba el reloj de la hora universal, batallando por arreglar él con sus convulsas manos, el mecanismo de su invento cuyos rodajes, según se refiere, quedaron esparcidos en el momento de la muerte, sobre el maltratado pavimento de su habitación casi miserable...”

“DESCUBRIMIENTOS, INVENCIONES Y TRABAJOS DE DON FRANCISCO J. ESTRADA. PROFESOR DE FÍSICA Y ELECTRICISTA. Fechas en que fueron realizados; periódicos y diarios en que están consignados: con datos y documentos coleccionados por sus discípulos.” Al separarse de la cátedra, Estrada queda sin trabajo remunerado, sus investigaciones que culminaba en privilegios solicitados al Gobierno a fin de poder ser explotados en base a proyectos no pueden aprovecharse a plenitud, el medio, representaba en aquella época, y de hecho en la actual, un medio sumamente difícil para el aprovechamiento de la innovación tecnológica, sus proyectos no son apoyados y sus magros recursos usados para financiar sus propios trabajos de investigación y la construcción de sus instrumentos diseñados. Por fortuna es recompensado por el Gobierno del Estado de San Luis Potosí asignándole una pensión anual que correspondía a dos meses de sueldo que percibía como profesor, al respecto la prensa nacional comentaba en el periódico El Liberal, a través de una nota reproducida por el Periódico Oficial del Estado, bajo el título de Iniciativa Generosa [27]:

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III. CONCLUSIONES Las importantes y abundantes contribuciones de Francisco Javier Estrada, a la física y en especial al electromagnetismo, muchas de ellas desconocidas, lo colocan no sólo como el primer electricista mexicano, como fue conocido años después, sino como el físico mexicano más notable del siglo XIX. La labor de Estrada como investigador y catedrático, lo colocan como el prototipo de profesor-investigador que las universidades modernas mexicanas tratan de configurar como perfil idóneo en la formación de recursos humanos y en la generación de nuevo conocimiento, así como su aplicación. A pesar de sus aportaciones poco trascendió el trabajo de Estrada, como suele suceder en países donde la 107

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J. R. Martínez

ciencia y la tecnología son desairadas, aparte de las tribulaciones que en aquella época envolvían al país. Sus innovaciones tecnológicas poco aprovechadas, lo que hubiera dado ventaja competitiva a México, el hecho de aprovechar la comunicación inalámbrica o el uso de la luz de arco por citar algunas, apoyando el reconocimiento mundial al trabajo de Estrada, que en su mayoría realizó estando casi ciego y paralítico debido a la ataxia locomotriz, con que fue atacado. Nueve años después Marconi patentó la comunicación inalámbrica ya dada a conocer por Estrada, como suele suceder, en esa ocasión si hubo respuesta del Gobierno de la República, comunicando Porfirio Díaz, en 1902, al Congreso que se iban a realizar las primeras pruebas de telegrafía sin hilos en Veracruz [29]. De igual manera, Porfirio Díaz llegó a felicitar a Edison, en una carta grabada en cilindro de cera audible en sus fonógrafos [30]; que se sepa no existe ninguna felicitación hacia Estrada. Su labor como educador fue igualmente excepcional, como lo demuestra el respeto y cariño de sus alumnos formados en la cátedra de física y que la mayoría de ellos llegaron a ser profesionales de la ingeniería, medicina, farmacia y posteriormente la química, mismos que a su vez tendrían aportaciones al mundo de la ciencia. Estrada no cejó en sus labores de gestión, aunque sin mucho éxito, al menos logró que parte de sus trabajos fueran apoyados económicamente por el Gobierno del Estado redituando así el crecimiento del Gabinete de Física del Instituto Científico y Literario. Algunos años después de que Estrada dejara la cátedra, se lograba que el gabinete fuera completado según lo requería Estrada y transmitir el espíritu de gran calidad a la cátedra de física, tal como se menciona en las memorias de los trabajos de la junta directiva del Instituto Científico en 1892 y que reproducía en parte el Periódico Oficial del Estado [31].

REFERENCIAS [1] Herrera-Feria, M.L., Elementos 48, 25 (2002-2003). [2] Medellín-Espinosa, I., Acción, No. 6260, (1938). [3] El Monitor Republicano, agosto y septiembre (1868). [4] El Siglo Diez y Nueve, México, agosto y septiembre de 1868. [5] El Constitucional, México, 31 de agosto (1868). [6] Semanario Ilustrado, núm. 19, (1868). [7] El Recopilador, México, núms. 12 y 13 (1868). [8] El Republicano, San Luis Potosí, 6 de junio (1868). [9] La Orquesta, México, agosto y septiembre (1868). [10] La Unión Democrática, San Luis Potosí, Num. 745, (1885). [11] Penilla-López, S., Estilo, revista de cultura, No. 14, (1950). [12] El Ciudadano, México, 1 de febrero (1882). [13] El Monitor Republicano, México, 2 de febrero (1882). [14] El Siglo Diez y Nueve, México, 9 de febrero (1882). [15] La República, México, 31 de enero (1882). [16] Periódico Oficial del Gobierno del Estado de San Luis Potosí, Tomo XI, núm. 790, 21 de julio (1886). [17] Medina-Romero, Jesús, Presencia de San Luis, suplemento dominical de El Heraldo de San Luis, No. 25, 4 de septiembre (1983). [18] El Mensajero, México, 3 de diciembre (1877). [19] La Unión Democrática, San Luis Potosí, No. 411, 26 de julio (1881). [20] La Unión Democrática, San Luis Potosí, No. 618, 26 de diciembre (1883). [21] La Unión Democrática, San Luis Potosí, 27 de septiembre (1879). [22] Hernández, J.A., Pulso, No. 6621, 18B (2007). [23] La Unión Democrática, San Luis Potosí, No. 121, 5 de mayo (1878). [24] La Unión Democrática, San Luis Potosí, No. 247, 30 de octubre (1879). [25] La Unión Democrática, San Luis Potosí, No. 135, 6 de julio (1878). [26] El Estandarte, San Luis Potosí, edición del 14 de febrero (1886). [27] Periódico Oficial del Gobierno del Estado de San Luis Potosí, No. 815, 30 de octubre (1886). [28] Discursos, velada de honor de los señores Francisco Estrada (h.) y Dr. Gregorio Barroeta, San Luis Potosí, 14 de octubre (1908). [29] Efemérides, El universo de la radio 1, 55 (1996). [30] Evocaciones de la máquina parlante, Fonoteca del INAH, No. 43 de Testimonio Musical de México, (2004). [31] Periódico Oficial del Gobierno del Estado de San Luis Potosí, No. 1203 (1892).

“…Las cátedras se han mejorado notablemente, dotándolas de cuanto han menester para que los alumnos que a ellas concurren saquen el producto debido a sus laboriosos trabajos. El Gabinete de Física, que se hallaba instalado provisionalmente en una de las aulas del edificio, ha sido trasladado al elegante salón destinado a ese objeto y enriquecido con todos aquellos aparatos que los progresos de la ciencia reclaman. Esta cátedra es sin duda una de las mejores y más bien dotadas del Establecimiento.”

AGRADECIMIENTOS Se agradece al Archivo Histórico del Estado de San Luis Potosí, las facilidades prestadas para la realización del presente trabajo.

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BOOK REVIEWS Alejandro González y Hernández, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México, D. F., México. E-mail: [emailprotected]

estudiante, nos habla ya de las ventajas de usar un libro electrónico en CD-ROM o DVD, que en la actualidad tienen gran capacidad para guardar el contenido de textos con imágenes, sonidos y vídeos y los materiales educativos necesarios para apoyar los aprendizajes de los estudiantes, del uso del Internet como una herramienta para la educación a distancia y nos comenta básicamente de las PC como máquinas de enseñanza, en donde se destaca su poder de multiprogramación, su rapidez de funcionamiento, su gran capacidad de almacenamiento de información que incluye el registro de respuestas de los usuarios y su interfaz gráfica para representar datos o visualizar gráficas, animaciones o vídeos. Se considera también aquí, que la alfabetización computacional se realice en las instituciones educativas para mejorar el nivel de competitividad de los futuros docentes y profesionales en ciencias e ingeniería, es decir, para que se sepa usar apropiadamente la herramienta computacional dentro del conjunto de aplicaciones que son relevantes en el aprendizaje de la física. En específico emplear el computador como medio de cálculo numérico y/o simbólico en la solución de problemas, para realizar experimentos con modelos matemáticos (simulación), para el control y automatización computarizada de experimentos, y para el empleo de sistemas expertos en la solución de problemas. Resalta la creación y el uso de lo que se ha llamado Unidad Didáctica Informática (UDI) que son unidades de apoyo a la enseñanza de la física a nivel de la educación media basada en el uso de nuevas tecnologías. Finalmente en este capítulo, se plantea una estrategia para la resolución de problemas de física (que sigue siendo un elemento activos de los cursos de física teóricos), que incluye un proceso cíclico de análisis o reflexión, planteamiento, experimentación, simulación y solución analítica y/o numérica, verificación y retorno al análisis o la reflexión. En el capítulo II se establece una discusión acerca de la experimentación convencional y la experimentación computarizada. Se trata primero de las prácticas experimentales en la enseñanza de la física, que desde un punto de vista constructivista perseguiría promover el cambio conceptual de los estudiantes. Los autores, con base a la experiencia del grupo de investigación al que pertenecen, infieren que en el laboratorio los estudiantes y docentes se reúnen para realizar, examinar e intentar proporcionar una descripción y explicación de las diferentes fenomenologías que son objeto de estudio en la física, que el trabajo experimental constituye una oportunidad para desarrollar nuevas formas de razonar de manera sistemática, que en general se puede transferir a otras situaciones problemáticas experimentales o

Experimento y Simulación, Opciones didácticas en la enseñanza-aprendizaje de la Física. Alejandro Hurtado Márquez, Carlos A. Lombana Arroyave, Medardo Fonseca, Oscar Ocaña Gómez. 204 pp. Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Colombia, 2006. ISBN 958-8247-68-3. En los últimos años, la investigación educativa en física ha tomado particular importancia en la investigación de como aprender y enseñar física. En la actualidad reconocer las concepciones espontáneas de los estudiantes, la utilización de nuevas estrategias para lograr la modificación y evolución de esas preconcepciones y el propósito de alcanzar un aprendizaje significativo de la física mediante el cambio conceptual son resultados de un proceso de investigación en la didáctica de las ciencias. En el libro de Alejandro Hurtado Márquez et al., se hace una reflexión profunda acerca de estos temas, primeramente se insiste en que el aprendizaje de la física mediante la resolución de problemas, la práctica del laboratorio y la teoría debe sufrir una transformación que incorpore los resultados de la investigación educativa a la práctica de los procesos de aprendizaje y de enseñanza. De esta manera, en el capítulo I del libro Experimento y Simulación, los autores nos comentan sobre algunas de las tendencias actuales sobre la enseñanza y el aprendizaje de la física, empezando con un análisis de los aspectos generales de la enseñanza de la física, lo que se debe aprender en una asignatura de física que no debe confundirse con un curso más de matemáticas y que debe buscar que el estudiante logre la estructuración de un cuerpo teórico coherente, por ejemplo, mediante el desarrollo del trabajo a realizar alrededor de la fenomenología de un problema a estudiar. Se discute en este capítulo sobre el papel que juega la coherencia del lenguaje y su incidencia en el aprendizaje de la asignatura, así el enunciado de la tercera Ley de Newton “para cada acción existe una reacción igual y opuesta”, será más clara para el estudiante si se presenta como “Si un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, éste ejerce simultáneamente una fuerza de igual magnitud y dirección contraria al primero”. Se reflexiona aquí sobre orientar el aprendizaje de la física hacia el desarrollo de competencias en donde los estudiantes logren aplicar diversos tipos de habilidades y destrezas, de orden psicomotor, sensorial, afectivo y cognitivo en las diferentes áreas del conocimiento de la física. En este primer capítulo, se insiste ya en que el computador y en general la informática es un buen medio para ayudar al desarrollo de destrezas del pensamiento físico del

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Alejandro González y Hernández

cotidianas, con lo cual se permite a los estudiantes confrontar sus errores conceptuales, que el trabajo en el laboratorio crea actitudes positivas, permite contrastar modelos teóricos y/o simulados, motiva al manejo de datos con la ayuda que prestan las PC, los diferentes programas y las hojas de cálculo, ayuda a comunicar valores humanos, permite diseñar diferentes estrategias para la resolución de problemas, posibilita la evaluación de diferentes alternativas de trabajo y permite fundamentar la toma de decisiones. Los autores agregan además que la experimentación constituye una herramienta para el desarrollo de toda clase de habilidades y competencias científicas y de investigación. Otros temas que se tratan en el capítulo se refieren a la experimentación en el aula que se debe recurrir a ella sobre todo cuando hay poca disponibilidad de material o equipo para el trabajo experimental, a la descripción del sistema de adquisición de datos que con la evolución de las tecnologías actuales hacen uso de sistemas computarizados con la ganancia de la disminución de los tiempos de preparación de un experimento y la ampliación de los tiempos para el estudio de los fenómenos bajo experimentación, al análisis de datos con ideas básicas para la evaluación de resultados experimentales, a la calibración de los instrumentos de medida, incluyendo los sensores o dispositivos de captura de datos experimentales mediante una PC. Se termina el capítulo con una discusión sobre la incidencia pedagógica del empleo de los experimentos automatizados en donde se comenta la pérdida de poder adquirir habilidades y destrezas que se logra con la práctica manual de la experimentación. El capítulo III se refiere a la simulación, de la cual se comenta que “consiste básicamente en construir modelos informáticos que describen la parte esencial del comportamiento de un sistema de interés y en diseñar y realizar experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus resultados para apoyar la toma de decisiones”. En este capítulo se analiza cómo las simulaciones pueden ayudar al estudiante a encontrar sentido a las relaciones entre variables, a entender las ecuaciones como relaciones físicas entre medidas, a construir modelos mentales de sistemas físicos, a proporcionar a los estudiantes experiencias de aprendizaje activo, estimulante y del tipo “manos a la obra”, de servir como libro de notas en que el estudiante pueden explicarse y describir a sí mismo lo que está entendiendo. Se hace aquí, una revisión de los programas o paquetes computacionales de uso frecuente para el apoyo a las disciplinas de las matemáticas y las ciencias naturales, en especial la física. Así se comenta sobre Mathcad, un poderoso ambiente computacional centrado en la notación matemática real, combinado con un procesador de palabras, Mathematica, una herramienta de las más potentes, que integra gran parte de los conceptos de la matemática con las modernas técnicas computacionales de software, Derive, un software con los que se puede trabajar el álgebra, las ecuaciones, la trigonometría, los vectores, las matrices y el cálculo, Matlab, un entorno integrado de trabajo que permite y facilita el análisis y el cálculo numérico de manera interactiva, Interactive Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol.1, No. 1, Sept. 2007

Physics, software que permite realizar simulaciones en diferentes áreas de la física con objetos dibujados en la pantalla del computador y Modellus, herramienta orientada a la simulación y modelación de sistemas. Se habla también sobre los lenguajes de programación, desde Fortran (acrónimo de FORmula TRANSlator), hasta C y C++, Java y Fislets (pequeños programas construidos en Java o JavaScrip con aplicaciones específicas para la física). Una mención especial, se hace en este capítulo, a los métodos numéricos, en donde se discute acerca de la importancia de los métodos numéricos en la enseñanzaaprendizaje de la física, se establecen métodos de resolución numérica de ecuaciones diferenciales como los Métodos de Euler, el de Runge-Kutta y el de RungeKutta-Noström y se da un ejemplo de aplicación de estos métodos para el caso de un cuerpo que cae en un campo gravitacional constante sujeto a una fuerza de rozamiento proporcional a la rapidez. En el capítulo IV, se hace una integración entre el experimento habitual, el computador y la simulación, para ello, se abordan la incidencia e impacto de dicha integración en diferentes áreas de la física. En cinemática, se discute la toma de datos de un movimiento con ticómetro y sensores, y su simulación con Interactive Physics (IP). Se analiza teóricamente un problema de estática y se describe su simulación con IP. En dinámica, se estudia experimentalmente el coeficiente de fricción, mediante la interfaz de adquisición de datos “COBRA”, se hace el análisis teórico de la dinámica de un bloque sobre una cuña sin fricción y se realiza su simulación con IP, se trata teóricamente y simuladamente un problema de colisión interesante y sorprendente como aplicación del principio de la conservación de la energía mecánica y del momentum, y se discute experimentalmente el péndulo interrumpido con un planteamiento previo que incluye el análisis, la solución teórica y la predicción, para proceder enseguida a la solución experimental. Con el uso del sistema de adquisición de datos por PC “COBRA”, se continúa con la experimentación para determinar la velocidad de las ondas sonoras, el estudio experimental de las oscilaciones libres, amortiguadas y forzadas, la elongación de una banda de caucho y la tensión superficial. Se hacen modelos con IP de campo eléctrico y experimentos de impulso magnético por medio de toma de datos con la interfaz “COBRA” y por último utilizando software como Mathematica, Electronics Workbench o la Interfaz “COBRA” se propone implementar una metodología para la discusión y análisis de los sistemas oscilatorios en circuitos eléctricos. En este capítulo, se muestran algunos resultados de la aplicación de las herramientas computacionales aconsejadas en este libro y que se han subido a páginas Web, en donde se tratan temas como energías renovables, teoría de la relatividad especial y el problema de los tres cuerpos de Lagrange y termina con una aplicación de Modellus. En el capítulo V, a manera de colofón, se establecen brevemente perspectivas de trabajo para un planteamiento integrado de la enseñanza de la física. Ahí se comenta que los esquemas pedagógicos y didácticos con los que actualmente se cuentan para abordar la teoría y la 110

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Book Review: Experimento y Simulación, Opciones didácticas en la enseñanza-aprendizaje de la Física

experimentación en el aprendizaje y la enseñanza de la física trae consigo una serie de expectativas insospechadas para el campo educativo. La realización en esta obra de diferentes experiencias alrededor de las nuevas tecnologías en los procesos de enseñanza aprendizaje de la física fue el resultado de buscar alternativas metodológicas que se pudiesen insertar integralmente en el trabajo del aula, en la solución de situaciones problemáticas que conllevarían al uso de la simulación y la experimentación computarizada o no, pero siempre sobre la base de constructos epistemológicos y disciplinares de la física, su enseñanza y su aprendizaje. Como recomendaciones finales, se sugiere que los estudiantes y docentes se agrupen para consolidar el trabajo colectivo, para dar mayor solidez y coherencia a sus propuestas de solución de enseñanza y de aprendizaje, ya sean teóricos, experimentales, convencionales, simulados o experimentales asistidos por PC. El libro de Alejandro Hurtado Márquez et al., no es un libro de texto pues trata diferentes tópicos de la

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enseñanza-aprendizaje de la física, es como el subtítulo lo menciona opciones didácticas para introducirse a la aplicación de las nuevas tecnologías de la informática en la enseñanza-aprendizaje de la física. El libro es una obra de consulta indispensable, muy aconsejable para docentes que quieren comprometerse con los nuevos métodos de enseñanza y para estudiantes que desean aprender la física con las nuevas tecnologías computarizadas con que cuenta el mundo moderno. En ambos casos docentes y estudiantes, encontrarán ejemplos que les den pistas claras de todas las posibilidades que se puedan desarrollar con las nuevas herramientas que se dan a conocer y se discuten ampliamente en esta obra, sin dejar de lado, que algunos de estos casos concretos que se discuten en el libro, se puedan llevar a cabo, para que los lectores docentes o estudiantes experimenten por sí mismos lo que el autores ha tratado de comunicar en palabras e imágenes.

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ANNOUNCEMENTS Geography. Each course will have duration of eight hours and a certificate of attendance will be given to the participants. More information about Pre-Congress courses will be in The Congress WEB page: www.didacien.rimed.cu. The course will be given in The Capitoly Convention Center Registration fee Participants: 150 CUC. Includes: congress materials, certificates, coffee, scientific activities and closing lunch. You must pay 20 CUC in addition for the pre-congress courses. Includes: course materials, and certificate. The payment of the congress and the pre-courses must be in cash in Cuba from Sunday March 16, 2008 in Havana Convention’s Palace. For any further information about the Congress, visit the WEB page of the congress www.didacien.rimed.cuor contact directly the following persons: Carlos Sifredo Barrios Executive Vicepresident of the Congress Email: [emailprotected] TEL/FAX: 567 553422 Ángel Salabarría Lay Havana Convention’s Palace Ave 146 e/11 y 13, Playa Email: [emailprotected] Tel: 537 2026011 al 19, ext 1511 Fax: (537) 202 8382 Web:www. cpalco.com

ICPE 2007 The International Conference on Physics Education: Building Careers with Physics, will take place in Marrakech, Morocco, from November 11-16, 2007. This conference will be hosted by the Cadi Ayyad University of Marrakech - in collaboration with the Tunisian Society of Optics (STO), the Moroccan Society of Applied Physics (SMPA) and the Faculty of Sciences Semlalia (FSS). ICPE2007 is supported by the International Commission on Physics Education (ICPE) of the International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP). ICPE2007 is the first IUPAP-supported international conference on physics education in North Africa. The main objective of ICPE2007 is to provide an opportunity to exchange ideas and experiences about Building Careers with Physics, and to discuss the potentialities which the physical sciences offer in curricula development, and their impact on enriching the professional skills of the graduates. This conference will bring together physicists, physics educators, physics education researchers and curriculum developers from around the World to share and debate their findings and experiences in the teachinglearning process in Physics, in general, and in careeroriented curricula and Educational Reforms in particular. The main conference topics are: • • • • • •

New Job Opportunities. Effective Teaching Strategies. Learning with Technology. Physics for Sustainable Development. Bridging the Gaps. Women and Girls in Physics.

XVI INTERNATIONAL WORKSHOP NEWS TRENDS IN TEACHING PHYSICS 29 May – 1 June, 2008 Puebla, Pue., Mexico

Aditional information in www.icpe2007.org

Each year at the end of May, the University of Puebla in Puebla, Mexico, organizes an international workshop focused to physics teachers. Some Conferences on Physics Education and short courses are given.

X INTERNACIONAL WORKSHOP ON TEACHING OF PHYSICS Havana Convention’s Palace, Havana, Cuba

Further information: www.fcfm.buap.mx/taller March 17 to 21, 2008 The Ministry of Education of Cuban Republic and the Latin-American and Caribbean Pedagogical Institute have the pleasure of inviting you to participate at the X International Workshop on Teaching of Physics which will be held in the Havana Convention’s Palace, Havana, Cuba, from March 17 to 21, 2008 About Pre-Congress courses. These courses will be about Didactics of Science in General, Didactics of Natural Science, Didactics of Physics, Didactics of Mathematics, Didactics of Chemistry, Didactics of Biology and Didactics of

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Contact the following persons: Josip Slisko: [emailprotected], Adrián Corona: [emailprotected], Cesar Mora: [emailprotected]

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LATIN AMERICAN JOURNAL OF PHYSICS EDUCATION Volume 1, Number 1, September 2007 CONTENTS/CONTENIDO Papers/Artículos Circuits hapenings,

Paul Hewitt

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Problem solving and writing I: The point of view of physics, Jorge Barojas Periodic motions: How their period changes with amplitude of the oscillations and the friction?, H. G. Riveros and E. Cabrera Bravo

4-12

13-18

Estrategia EE (Excel-Euler) en la enseñanza de la Física,

Ricardo Buzzo Garrao

19-23

Six Lessons from the Physics Education Reform Effort,

Richard Hake

24-31

Tutoriales para Física Introductoria: Una experiencia exitosa de Aprendizaje Activo de la Física,

Julio Benegas

32-38

La enseñanza de la Física a través de habilidades investigativas: una experiencia,

Josefina Barrera Kalhil

39-43

Haciendo ciencia en el aula: Los efectos en la habilidad de falsear diferentes Hipótesis sobre la flotación y en las respuestas a la pregunta “¿Por qué flotan Las cosas?”,

Adrián Corona Cruz, Josip Slisko y Julián Gilberto Meléndez Balbuena

44-50

Un curso de mecánica clásica sin conferencias magisteriales: objetivos, elementos del diseño y efectos en los estudiantes,

Josip Slisko y Rebeca Medina Hernández

51-61

Programa de estrategias creativas (PEC) para potenciar la actitud creativa Del docente de Física,

Manuel Reyes Barcos

62-72

La plataforma interactiva Moodle: Una oportunidad para la docencia universitaria de la Física,

J. Fuentes Betancourt, A. Pérez Perdomo, A. Montoto González, M. Domínguez Hernández y O. Calzadilla Amaya continued/continuación

73-77

continued/continuación LATIN AMERICAN JOURNAL OF PHYSICS EDUCATION Vol. 1, No. 1, Sept. 2007 contents/contenido An heuristic review of Lanczos potential,

César Mora and Rubén Sánchez

78-82

Una idea profunda en la comprensión del mundo físico: el principio de superposición de estados,

O. Organista, V. Gómez, D. Jaimes y J. Rodríguez

83-88

Bandas de energía, origen y consecuencias,

I. Rojas, César Mora y H. J. Herrera Suárez

89-94

Descripción de la evolución del Universo: una presentación para alumnos preuniversitarios,

R. García-Salcedo y Claudia Moreno

95-100

Francisco Javier Estrada, el físico mexicano más notable y olvidado del siglo XIX,

J. R. Martínez

101-108

Book reviews/Revisión de libros Experimento y simulación, opciones didácticas en la enseñanzaAprendizaje de la Física,

Alejandro González y Hernández

109-111

Announcements/Anuncios Próximos congresos

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References